Определение числа неизвестных

При расчете статически неопределимой системы методом переме­щений первоначально необходимо установить общее число неизвест­ных величин, подлежащих определению. Выше было показано, что за неизвестные принимаются углы поворота и линейные смещения узлов системы; следовательно, общее число неизвестных n будет равно сумме чисел неизвестных углов поворота узлов я_у и неизвест­ных линейных перемещений узлов п_л, т. е.

.

Число неизвестных углов поворота равно числу «жестких» узлов, а потому определение n_y сводится к простому подсчету числа «жест­ких» узлов рамы.

Рис.6.2

«Жестким» считается такой узел, в котором концы, по крайней мере, двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой (например, узлы 1, 2, 3, 4 на рис. 6.2, а; узлы 1, 2 на рис. 6.2, е; узел 1 на рис. 6.2, ж).

Если стержни, сходящиеся в каком-либо узле системы, соеди­нены в несколько жестких групп, шарнирно связанных между собой, то такой узел имеет количество «жестких» узлов, равное числу групп. Например, узел 1 на рис. 6.2, з имеет два «жестких» узла, узел 1 на рис. 6.2, и — три «жестких» узла. На рис. 6.2, б, в, г, д рекомендуется самостоятельно определить число «жестких» узлов.

Перейдем к определению числа неизвестных линейных смещений. Выше было принято не учитывать деформации рам от действия продольных и поперечных сил и не делать различия меж­ду первоначальной длиной прямого стержня и длиной хорды, стя­гивающей его упругую линию, т. е. считать, что первоначальное расстояние между концами каждого прямого стержня сохраняетсяи после деформации. Это позволяет при определении числа линей­ных неизвестных смещений заменить схему данной статически не­определимой системы ее шарнирной схемой путем введения полных шарниров во все узлы и опорные закрепления. Перемещения всех узлов такой системы не являются независимыми, так как смещение одного из них может вызывать смещения ряда других узлов. Не­обходимо выделить из них независимые перемещения.

Число независимых линейных смещений узлов системы равно числу стержней, которое необходимо ввести в шарнирную схему сооружения, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую.Следовательно, число независимых линейных смещений узлов рав­но степени геометрической изменяемости системы, полученной из заданной путем введения во все «жесткие» узлы (включая и опорные) полных шарниров.

Рис. 6.3.

В качестве примера рассмотрим раму, изображенную на рис. 6.3, а. Число «жестких» узлов этой рамы равно двум, т. е. . Для определения числа неизвестных линейных смещений переходим к шарнирной схеме (рис. 6.3, б), представляющей собой изменяемую систему; для превращения ее в геометрически неизме­няемую достаточно поставить один стержень, например опорный СЕ (рис. 6.3, е) или диагональный АС (рис. 6.3, г). На рис. 6.3, б штриховой линией показаны возможные перемещения сторон шар­нирного четырехугольника; из рассмотрения этого рисунка видно, что шарниры (узлы) В и С не могут перемещаться независимо друг от друга. Итак, число независимых линейных перемещений в дан­ном случае равно единице, т. е. п_л =1.

Рис.6.4.

Общее число неизвестных пе­ремещений

Рассмотрим теперь раму, изображенную на рис.6.4, а.

Число ее «жестких» узлов равно шести,следовательно, n_y =6. Шарнирная схема рамы трижды геометрически изменяема, так как дляпревращения ее вгеомет­рически неизменяемую необходимо ввести три стержня, напри­мер, так, как это сделано на рис. 6.4, б. После включения этихстержней узел 6 будет прикреплен к «земле» с помощью двух стерж­ней, оси которых не лежат на одной прямой; следовательно, узел 6 будет геометрически неизменяемо связан с «землей». Аналогично прикреплены узлы 5 и 6. Затем с помощью стержней 4 — 6 и 5— 4 прикреплен узел 4 и аналогично узлы 2 и 3.

Итак, число линейных неизвестных перемещений равно трем, т. е. n_л =3. Общее число неизвестных в рассматриваемой системе равно n =6+3=9.

В заключение приводим табл. 6.1, в которой указаны степень статической неопределимости и общее число неизвестных при рас­чете методом перемещений для систем, изображенных на рис. 6.2.

Таблица 6.1