Выбор неизвестных и определение их числа

Как уже мы выяснили, при расчете статически неопре­делимой системы методом сил за лишние неизвестные принимаются усилия в лишних связях (силы и моменты). После определения лишних неизвестных легко могут быть найдены внутренние усилия (М, N, Q) в произвольном сечении и перемещения (прогибы и углы поворота) в любой точке конструкции. Следовательно, при расчете методом сил сначала находят усилия, а потом уже перемещения.

Можно решить задачу иначе: сначала каким-либо путем найти перемещения, а потом установить соответствующее им распределе­ние усилий. Именно так и поступают при расчете статически не­определимых систем методом перемещений. Принимая за лишние неизвестные упругие перемещения, пренебрегаем влиянием про­дольных и поперечных сил на деформации стержней, учитывая лишь деформации изгиба. Это допущение не является новым, так как при расчете рам методом сил влиянием продольных и поперечных сил при определении деформаций конструкции обычно пренебрегают. Кроме того, не делают различия между первоначальной длиной прямого стержня и длиной «хорды», стягивающей его упругую ли­нию. Иными словами, сближение концов такого стержня при его изгибе не учитывают.

Установим теперь, какие перемещения стержня необходимо и достаточно знать, чтобы можно было определить внутренние усилия в любом его сечении. Для этого рассмотрим прямой стержень АВ (рис. 6.1, а), выделенный из какой-либо i раз статически неопреде­лимой системы. Под влиянием действующей на всю систему (в том числе и на стержень АВ) нагрузки стержень АВ изогнется и пере­местится в новое положение А'В'.

Любое положение А'В' стержня можно получить из начального в результате следующих независимых перемещений:

1) поступательного перемещения всех точек стержня на одну и ту же числовую величину Д_А (рис. 6.1, б); при этом ось стержня остается прямолинейной, а изгибающие моменты и поперечные силы во всех его сечениях равны нулю;

2) перемещения одного из защемленных концов стержня в на­правлении, перпендикулярном его оси, например, конца В на чис­ловую величину ; вид упругой линии и эпюра М для такого случая изображены на рис. 6.1,в;

3) поворота конца А стержня на угол ᵠ_А (рис. 6.1, г);

4) поворота конца В стержня на угол ᵠ_в(рис. 6.1, д);

5) перемещений точек оси стержня с двумя неподвижными и защемленными концами от действия заданной нагрузки (рис. 6.1, е).

Очертание упругой линии стержня АВ в результате поступа­тельного смещения , перемещения конца В по отношению к А на Л_ВА, поворота концевых сечений на tp_Aи ср_в и действия нагрузки будет совпадать с упругой линией А'В' (рис. 6.1, а).

Рис.6.1

Если каким-либо путем удастся найти величины Л_ВА, ср_л и <р_в, то этого будет достаточно для определения М и Q в любом сечении стержня (наличие поступательного смещения Д_А не вызывает в нем моментов и поперечных сил). Эти перемещения (Д_ВА, ср_А и ф_в) и следует принять за неизвестные при рассмотрении отдельного стержня.

В стержневых системах (рамах) линейные перемещения (и углы поворота) концов стержней, жестко соединенных в узле, равны между собой. Поэтому за неизвестные при расчете статически не­определимых систем методом перемещений принимаются углы по­ворота узлов и их линейные перемещения.