Работа расширения идеального газа

Учитывая выведенное раннее разделение полной работы процесса на работу расширения и полезную работу (см. 1.6 и 1.10), математическое выражение первого закона термодинамики (2.3) можно представить в виде:

dq = dU + dW’+ pdV. (2.5)

Равенство (2.5) может служить основой для расчётов тепловых эффектов (теплот) любых процессов. Для упрощения будем считать, что рассматриваемая система не производит других видов работы, кроме работы расширения, т. е. dW’ = 0. Тогда уравнение первого закона термодинамики приобретёт вид:

dq = dU + pdV. (2.6)

При изобарном процесе (р = const) давление можно ввести под знак дифференциала и, следовательно, рdV = d (рV). Таким образом, правая часть равенства (2.6) состоит из суммы полных дифференциалов, которая, как известно из математики, также является полным дифференциалом некоторой функции Н – энтальпии:

dq = dU + d (pV) = d (U + pV) = dH. (2.7)

Таким образом, теплота изобарного процесса оказывается равной приращению функции состояния энтальпии (Н), что позволяет перейти от бесконечно малого приращения к конечному.

2 2

q_р = òdq_p = òdH = H₂ – H₁ = DH. (2.8)

1 1

Энтальпия является функцией состояния и связана с внутренней энергией уравнением: Н = U + pV. (2.9)

Как следует из равенства (2.8) приращение энтальпии DН равно теплоте изобарного процесса, т. е. для определения теплоты изобарного процесса достаточно знать значения энтальпии системы в её начальном и конечном состоянии.

Наиболее простой путь определения энтальпии основан на измерении теплоёмкости тел при постоянном давлении. Действительно, теплоёмкость есть отношение количества сообщённой телу теплоты к приращению температуры тела:

C = . (2.10)

Для случая Р = const имеем:

C_p = = . (2.11)

Состояние тела может быть однозначно задано двумя параметрами, например, давлением и температурой. Следовательно, функция состояния

Н = f (Р, T).

Н зависит от двух переменных, и её полный дифференциал имеет вид:

dH = dp + dT. (2.12)

Для изобарных процессов первый член правой части равен нулю, т. к. dp = 0, а второй, согласно (2.11) содержит величину изобарной теплоёмкости (С_р). Отсюда, сделав соответствующую замену, и интегрируя уравнение: dH = òC_p dT получаем:

q_P = DH = C_p(T₂ – T₁). (2.13)

При изохорном процессе V = const, dV = 0 и равенство (2.6) примет вид:

dq_v = dU. (2.14)

После интегрирования уравнения (2.14) от состояния “1” до состояния “2” получаем для конечного процесса:

q_v = U₂ – U₁ = DU. (2.15)

Т. е. теплота изохорного процесса равна приращению внутренней энергии. Аналогично энтальпии, внутренняя энергия может быть найдена по теплоёмкостям, измеренным при постоянном объёме. Вывод уравнений аналогичен вышеприведённому.

dU = + ,

C_v = = , (2.16)

dU = òCv dT,

Тогда согласно (2,14)

q_V = DU = C_V(T₂ – T₁). (2.17)

Теплоемкость. Виды теплоемкости. Связь между средней и истинной теплоемкостью. Теплоемкость при постоянном давлении и объеме и связь между ними. Температурная зависимость теплоемкости от температуры.