Примеры дискретных случайных величин

Приведем примеры часто встречающихся случайных величин.

1. Равномерно распределенная случайная величина.

Определение. Случайная величина X называется равномерно распределенной, если она принимает конечное число значений с одинаковой вероятностью, то есть закон распределения имеет вид.

X	x1	x 2	...	xn
P	p	p	...	p

где pn = 1, то есть .

Задача. Доказать, что .

Пример. Бросается игральный кубик. Случайная величина X равна числу выпавших очков. Закон распределения X имеет вид

X
P

2. Биномиальное распределение.

Производится n независимых опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностью p может наступить некоторое событие A. Случайная величина X равна числу наступлений события A в n опытах. Закон распределения случайной величины X имеет вид

X				...	k	...	n – 1	n
P	Pn (0)	Pn (1)	Pn (2)	...	Pn (k)	...	Pn (n – 1)	Pn (n)

где по формуле Бернулли

.

Задача. Доказать, что

3. Геометрическое распределение.

Рассмотрим схему Бернулли. Пусть и Случайная величина X равна количеству испытаний до первого наступления события .

Очевидно, что X может принимать любое значение Легко видеть, что случайная величина X примет значение если наступит событие Так как все испытания независимы, то

Поэтому закон распределения имеет вид

Задача. Доказать, что

4. Распределение Пуассона.

Определение. Говорят, что дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если ее закон распределения имеет вид

Здесь λ > 0.

Задача. Доказать, что

Тема 6: Функция распределения случайной величины.