Портфель з двох видів цінних паперів

Структура портфеля з двох видів ЦП задається вектором , а випадкова величина норми прибутку, сподівана норма прибутку та оцінка ризику визначаються відповідно за формулами:

; ; ;

Нехай , , , тоді:

.

Ця парабола в системі координат “ ” проходить через точки А₁ (1; ) та А₂ (0; ), які відповідають однорідним портфелям, складеним відповідно з ЦП А ₁ та А ₂ (рис. 2.1.8 а).

Рис. 2.1.8. Залежність оцінки ризику ПЦП від:

а) х – частки акції першого виду; б) m_П – сподіваної норми прибутку ПЦП.

Легко переконатись [3], що тобто задана парабола є опуклою вниз і досягає свого мінімального значення у точці (вершині) .

Дослідження з теорії портфеля часто здійснюються в системах координат “ х – s ” або “ т – s ”, при цьому дуга ÈА₂О*А₁ (область допустимих ПЦП) також опукла вниз на досліджуваному інтервалі зміни аргументу ( чи ).

Надалі для визначеності будемо вважати, що для акцій A₁ та A₂ мають місце співвідношення: m ₁ > m ₂, s ₁ > s ₂. Власне, це визначає доцільність утворення портфеля з даних акцій.

Координати вершини параболи :

,

,

де , .

Сутність ефекту диверсифікації в тому, що збільшення сподіваної норми прибутку m_П (починаючи з мінімального можливого значення) може супроводжуватись на певному етапі зменшенням оцінки ризику ПЦП – .

Згідно з рис.2.1.8 б при збільшенні m_П від m ₂ до оцінка ризику ПЦП зменшується від до . Подальше збільшення m_П (від до m ₁) призводить до збільшення оцінки ризику від до Отже, диверсифікація ефективна, коли абсциса вершини параболи О^* належить проміжку [ m₂; m₁ ].

Оскільки , то з формули для обчислення х* отримуємо , тобто r ₁₂ Î . Отже, для портфеля з двох видів ЦП диверсифікація ефективна, коли коефіцієнт кореляції їх норм прибутку – r₁₂, належить проміжку [–1; r ¢), де r ¢ = . Підкреслимо, що чим менше значення r₁₂, тим меншим буде ризик портфеля, тим ефективнішою буде диверсифікація.

Портфель з багатьох видів цінних паперів

Область, точки якої характеризують ступінь ризику та сподівану норму прибутку портфеля за всіх можливих структур, називається множиною допустимих ПЦП.

Для портфеля з багатьох видів ЦП (N > 2) ця множина має вигляд – див. заштрихована область на рис. 2.1.9

Рис. 2.1.9. Множина допустимих портфелів цінних паперів (N= 3)

Множина портфелів, що відповідають точкам дуги È О*А ₁, є множиною ефективних ПЦП, тобто портфелів, для яких в множині допустимих ПЦП не можна вказати інших:

· з тим же значенням т_П і меншим значенням ;

· з тим же значенням і більшим значенням т_П.

Залежно від цілей інвестора можна виділити декілька задач формування портфеля. Розглянемо їх сутність та математичні моделі.

Задача збереження капіталу. Сутність задачі – у виборі такої структури ПЦП, щоб оцінка ризику портфеля була мінімальною. Формально – це однокритеріальна оптимізаційна задача (нелінійного програмування).

Математична модель задачі:

,

Портфель з мінімальним ризиком в моделі Марковіца існує завжди. Знайти структуру даного ПЦП можна побудувавши функцію Лагранжа та визначивши її точки мінімуму [3].

Задача одержання бажаного (фіксованого) прибутку (модель Марковіца). Сутність задачі – у виборі такої структури ПЦП, щоб його сподівана норма прибутку була не меншою заданого рівня – m_K (m_K = const), а оцінка ризику була б при цьому мінімальною. Формально – це однокритеріальна задача на умовний екстремум.

Математична модель задачі:

; ;

Задача забезпечення приросту капіталу. Сутність задачі – у виборі такої структури ПЦП, щоб його оцінка ризику не перевищувала заданого рівня – s_L (s_L = const) і при цьому досягалась максимальна величина сподіваної норми прибутку. Формально, як і в попередньому випадку – це однокритеріальна задача на умовний екстремум.

Математична модель задачі:

; ;