Принцип двойственности на проективной плоскости

Принцип (лат. PRINCIPIUM – начало, основание) – основное, исходное.

Принцип двойственности: если справедливо предложение ∆ о взаимной принадлежности точек и прямых проективной плоскости, то справедливо и так называемое двойственное предложение ∆*, которое получается из ∆ заменой слова «точка» словом «прямая» и слова «прямая» словом «точка».

Обоснование: выберем на проективной плоскости P₂ проективный репер R(E₁,E₂,E₃,E) и поставим в соответствие каждой точке А (а₁:а₂:а₃)_R прямую а с уравнением

(1)

то есть прямую с теми же координатами, что и у точки А:

Данное соответствие ψ является биекцией. Покажем, что соответствие ψ сохраняет взаимную принадлежность точек и прямых:

(2)

В самом деле, условие принадлежности точек А прямой b записывается в виде: . Переписав его в виде: , заключаем, что точка В прямой a.

Запись (2) читается так:

«если точка А лежит на прямой b, то прямая a проходит через точку В» или

«если прямая b проходит через точку А, то точка В лежит на прямой a».

Из того, что отображение ψ сохраняет взаимную принадлежность (инцидентность) точек и прямых проективной плоскости, и «вытекает» принцип двойственности.

Пример: следующие предложения являются двойственными:

∆: Каждой прямой принадлежит бесконечное множество точек.

∆*: Каждой точке принадлежит бесконечное множество прямых (или: через каждую точку проходит бесконечное множество прямых).

ЗАМЕЧАНИЕ: принцип двойственности позволяет принять без доказательства одну из двойственных теорем, если доказана другая теорема.

Ранее была доказана теорема 1 (см. § 5):

«Через любые две различные точки проективной плоскости проходит единственная прямая».

Справедливость двойственной ей теоремы 2 следует из принципа двойственности: «Любым двум различным прямым проективной плоскости принадлежит (инцидентна) единственная точка» или «Любые две различные прямые одной проективной плоскости пересекаются в одной точке».