Связка плоскостей и пучок плоскостей

Определение 1. Множество всех плоскостей, проходящих через данную точку , называется связкой плоскостей, а точка - центром этой связки.

Справедливо утверждение: для того, чтобы плоскость проходила через точку , необходимо и достаточно, чтобы ее уравнение могло быть записано в виде:

, (1)

где не все коэффициенты равны нулю.

При этом, оставляя неизменными и меняя , можно получить уравнение любой плоскости связки с центром . Поэтому уравнение (1) часто называют уравнением данной связки.

Определение 2. Множество всех плоскостей, проходящих через данную прямую , называется пучком плоскостей, а прямая - осью пучка.

ось

Пусть заданы уравнения каких-либо двух плоскостей пучка с осью :

, (2)

и

. (3)

Имеет место утверждение: для того, чтобы некоторая плоскость принадлежала этому пучку, необходимо и достаточно, чтобы она имела уравнение вида:

, (4)

где и - числа, одновременно не равные нулю .

Эти утверждения доказываются, как и для пучка прямых на плоскости.

Меняя и , можно получить уравнения любой из плоскостей данного пучка.

Например, при и получаем уравнение (2), а при и получаем уравнение (3).

Поэтому уравнение (4) называется уравнением пучка плоскостей.

Если положить , , то уравнение (4) принимает более удобный вид:

.

Давая параметру в уравнении (5) различные значения, можно получать уравнения любых плоскостей пучка, кроме плоскости с уравнением (3).

Определение 3. Множество всех плоскостей, параллельных данной плоскости (а, следовательно, и попарно параллельных), называется пучком параллельных плоскостей.

Если в уравнении (1) связки плоскостей, зафиксировав коэффициенты ,изменять координаты точки , то будем получать уравнения различных плоскостей пучка параллельных плоскостей.