Ня площин перетину

Перетином поверхні площиною називається плоска фігура, точки якої одночасно належать як пересічній поверхні, так і січній площині.

Площини, які утворюють перетин, називають січними, а фігури, отримані в результаті перетину багатогранної або кривої поверхні – перетином або фігурою перетину.

Площина, перетинаючи поверхню багатогранника, утворює фігуру перетину – багатокутник, число сторін якого відповідає числу граней пересічних площиною. Вершинами такого багатокутника є точки перетину ребер багатогранника із січною площиною, а сторонами – прямі лінії перетину граней із січною площиною. Площина, перетинаючи криві поверхні, у загальному випадку утворює криволінійну фігуру (коло, еліпс і т.п.).

7.1 Перетин поверхні багатогранника – піраміди SABCD – із фронтально проектуючою площиною δ.

На рис.102 побудована лінія перетину прямої чотирикутної піраміди SABCD із фронтально проектуючою площиною δ. Фронтальна проекція 1₂2₂3₂4₂ чотирикутника перетину – відрізок прямої, що збігається із фронтальною проекцією δ₂ площини δ.

Рис.102 - Перетин піраміди із фронтально

проектуючою площиною δ.

Горизонтальні проекції 1₁2₁3₁4₁ вершин чотирикутника перетину одержують вертикальними лініями зв'язку, проведеними із фронтальних проекцій вершин чотирикутника до відповідних проекцій ребер піраміди. Потім з'єднують послідовно точки 1₁2₁3₁4₁ відрізками прямих, одержують горизонтальну проекцію 1₁2₁3₁4₁ лінії перетину. Профільну проекцію 1₃2₃3₃4₃ лінії перетину визначають горизонтальними лініями зв'язку.

Лінія перетину на розгорненні бічної поверхні піраміди.

Лінію перетину на розгорненні бічної поверхні будують наступним чином: визначають натуральну величину бічного ребра піраміди шляхом побудови прямокутного трикутника, гіпотенуза, є натуральною величиною ребра;

– переносять з фронтальної проекції точки 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ натуральну величину ребра;

– будують розгорнення бічної поверхні піраміди;

– переносять на розгорнення точки 1₂ 2₂, 3₂, 4₂ на відповідні бічні ребра;

– з'єднують отримані точки 1₀, 2₀, 3₀, 4₀ відрізками прямих, одержують лінію (ламану) перетину, що розділяє бічне розгорнення на дві частини (рис.103).

Рис.103 – Розгортки частин розсіченої піраміди

Побудова повних розгорнень поверхонь, що залишилася і відсіченої частини піраміди. Знаходять натуральний вид фігури перетину способом плоскопаралельного переміщення. Роз'єднують на дві частини бічну поверхню піраміди по лінії перетину 1₀ 2₀ 3₀ 4₀. До частини розгорнення, що залишилася, добудовують основу піраміди (квадрат), а до відповідного відрізка лінії перетину, наприклад до 1₀4₀, – натуральну величину фігури перетину.

До відсіченої частини бічного розгорнення добудовують до відповідного відрізка лінії перетину, наприклад до 1 ₀ 2₀, тільки натуральну величину фігури перетину (рис. 103)

7.2 Перетин багатогранника – прямої трикутної призми фронтально проектуючою площиною δ (рис. 104).

Фронтальна проекція 1₂2₂3₂ трикутника-перетину перетвориться у відрізок прямої, що збігається із фронтальною проекцією δ₂ площини δ. Тому що бічні ребра призми є горизонтально проектуючими прямими, то горизонтальні проекції 1₁ 2₁ 3₁, вершин трикутника-перетину збігаються з горизонтальними проекціями бічних ребер. Профільна проекція 1₃2₃3₃ трикутника-перетину визначається за допомогою горизонтальних ліній зв'язку.

Рис.104 - Перетин призми із фронтально проектуючою площиною δ.

Натуральний вид фігури перетину – трикутника 1₁2₁3₁, знаходять способом плоско паралельного переміщення.

Лінія перетину на розгорненні призматичної поверхні призми (рис.105).

Уцьому випадку бічні ребра і сторони основи призми на комплексному кресленні визначені в натуральну величину. Будують повне розгорнення поверхні піраміди. Користуючись розмірами z₁ z₂, z₃, на розгорнення бічної поверхні призми наносять точки 1₀, 2₀, 3₀, 1₀ перетину ребер призми із січною площиною δ.

Рис.105 - Розгорнення усіченої трикутної призми фронтально проектуючою площиною δ.

Отримані точки 10, 20, 30, 10 послідовно з'єднують прямими лініями, одержують ламану лінію 10203010, яка є лінією перетину. До одного з відрізків лінії перетину, наприклад 1020, добудовують трикутник 102030 – натуральну величину фігури перетину. У результаті одержуємо розгорнення усіченої трикутної призми фронтально проектуючою площиною δ.

7.3 Перетин тіла обертання - кругового циліндра площиною

Перетин прямого кругового циліндра площиною. При перетині циліндричної поверхні площиною можна одержати різні лінії перетину:

– пари паралельних прямих, якщо січна площина паралельна осі обертання циліндра (рис.106 а);

– коло, якщо січна площина перпендикулярна до осі обертання циліндра (нормальний перетин) (рис.106 б);

– еліпс, якщо січна площина похила до осі обертання і перетинає всі утворюючі циліндра (рис.106 в).

а б в

Рис.106 -Перетин прямого кругового циліндра площиною

Рис.107 -Перетин прямого кругового циліндра фронтальною площиною рівня.

Січна площина μ (рис.107)перетинає поверхню циліндра по двох паралельних прямих АВ і CD (утворюючим) і по двох паралельних прямих AD і ВС(хордам основ циліндрів). Фігура перетину – прямокутник ABCD. Фронтальна проекція A2B2C2D2 є натуральною величиною фігури перетину.

Побудова проекцій лінії перетину циліндричної поверхні із фронтально проектуючою площиною (рис.108). Ось циліндра перпендикулярна до площини проекцій П₂. Площина δ перетинає всі утворюючі циліндра.

Рис.108 - Побудова проекцій лінії перетину циліндричної поверхні із фронтально проектуючою площиною

У дійсності перетин є еліпсом. Фронтальна проекція лінії перетину (еліпс) перетвориться у відрізок прямої, що збігається із фронтальною проекцією δ₂ площини δ у межах фронтальної проекції циліндра. Тому що циліндрична поверхня є горизонтально проектуючою, то горизонтальна проекція перетину збігається з колом – горизонтальною проекцією циліндричної поверхні. Для побудови профільної проекції, а також для побудови розгорнення лінії перетину на бічній поверхні циліндра на проекціях проводять рівномірно розташовані утворюючі. У цьому випадку проведено вісім утворюючих, горизонтальні проекції яких є точками (А₁ В₁ С₁...Ν₁) віддаленими друг від друга на однакові відстані. Профільну проекцію одержують за допомогою горизонтальних ліній зв'язку, що ясно з комплексного креслення. У тому випадку, якщо площина δ нахилена до площини П₁, під кутом 45°, профільна проекція еліпса буде колом. Більша ось еліпса дорівнює відрізку А₂В₂ – фронтальні проекції; мала вісь – відрізку С₁М₁ – діаметру основи циліндра. Побудова проекцій лінії перетину варто починати з опорних точок А, Е, С, М, а потім переходити до проміжних – В, D, F, N, що знаходяться між ними. Натуральний вид і величину фігури перетину можна знаходити або способом плоскопаралельного переміщення або відомою побудовою з геометричного креслення по великій і малій осях.

Лінія перетину на розгорненні бічної поверхні циліндра (рис.109). Будують повне розгорнення поверхні циліндра. На розгорненні бічної поверхні наносять вісім утворюючих.

Рис.109 - Лінія перетину на розгорненні бічної поверхні циліндра

На цих утворюючих від точок 1,2,3,4,... відкладають узяті із фронтальної проекції відрізки, що дорівнюють Ах₁₂, B х₁₂, С х₁₂ …, одержують точки А₀, B₀ С₀,… – які послідовно з'єднують кривою лінією, що є розгорненням лінії перетину. Вона є синусоїдою. Для одержання повного розгорнення нижньої відсіченої частини циліндра до лінії перетину добудовують еліпс – дійсну величину фігури перетину.