Критерії узгодженості апроксимуючої функції з даними експерименту

Припустимо, що початковими даними апроксимованої функції є використання результатів вимірювань (опиту) її значень

(2.5)

на сітці

(2.6)

і апроксимуюча функція визначається формулою (2.1).

при фіксованому значенні і визначеному виборі базисних функцій

Задача. Як найкраще виконати “узгодження” вектора

з вектором результатів вимірювань шляхом вибору потрібних коефіцієнтів .

Дана постановка задачі отримає конкретний точний зміст після прийняття деякого критерію оптимальної узгодженості векторів та .

На практиці частіше використовують такі два критерії (методи наближення функцій):

· метод коллокації – (інтерполяційне наближення – від лат. interpolatio – “змінювання”; в математиці – визначення проміжних значень величини за деякими відомими її значеннями);

· метод найменших квадратів (МНК).

Метод коллокації – найпростіший метод узгодження функцій та – є проходження графіка функції через експериментальних точок або інакше – рівність векторів та рівносильна системі рівнянь

(2.7)

У матричній формі

,

(2.7а)

де

,

(2.7б)

Виконання умов (2.7) називають колокацією, а узагальнений багаточлен , який задовольняє ці умови, є інтерполяційним багаточленом, тобто багаточленом, що інтерполює функцію на сітці .

Приклад. Дано на сітці . Розглянемо найпростіші базисні функції .

Знайти інтерполяційний багаточлен виду (тобто ).

Розв’язок: система (2.7) має вигляд

,

(2.8)

Тоді багаточлен має вигляд

,

(2.9)

Отриманий багаточлен описує функцію, що вивчається (процес, систему), на проміжку значень сітки: .