Методи апроксимації функцій в задачах дослідження процесів і систем

У дослідженні процесів і систем набули широкого викорис­тання математичні моделі, які містять різні функціональні залежності. Наприклад, цільові функції в задачах оптимізації; виробничі функції для розрахунків нормативних коефіцієнтів; функції регресії виду , які виражають співвідношення “вхід–вихід” будь-якої системи ( – вектор вхідних факторів; – вектор параметрів моделі, що належить визначенню за експериментальними даними; – вектор відгуків – вихідні фактори). Регресивна модель будується для вивчення (дослідження) невідомих процесів у системах та оцінювання кількісних характеристик міжелементних зв’язків системи, наприклад: у = а₀ + а₁х (рис. 1).

Рис. 1

Коефіцієнти характеризують процеси (поведінку) системи і визначаються за експериментальними даними: та .

Щоб математичні моделі адекватно описували процеси і системи, необхідно використовувати досить адекватні функціональні залежності (математичні формули).

Таким чином, важливого значення набувають методи апроксимації – методи наближеного зображення реальних функцій такими стандартними аналітичними виразами, як, наприклад, алгебраїчні або тригонометричні багаточлени. Такі функції називають апроксимуючими.

У дослідженні процесів, систем початкові дані про апроксимуючу функцію наводяться у вигляді дискретного ряду результатів вимірювань (експериментів) або проведених обчислень на ЕОМ.

У задачах апроксимації такими початковими даними є сукупність експериментальних або розрахованих (обчислених) значень функції у різних точках . Інакше, початковою інформацією про функцію є вектор результатів вимірювань на сітці .

Розв’язок кожної задачі апроксимації складається:

1) з підбору деякої множини допустимих апроксимуючих функцій;

2) з вибору найбільш узгодженої з початковими даними функції з цієї множини.

Найбільш розповсюджений клас апроксимуючих функцій становлять узагальнені багаточлени.

Узагальненими багаточленами в базисі, складеному з функцій , називають багаточлен виду

(2.1)

де – числові коефіцієнти.

Зокрема,

1) базис 1, породжує алгебраїчні багаточлени

(2.2)

2) базис, який складається з комплексних гармонік дає тригонометричні багаточлени

(2.3)

З алгебраїчними багаточленами пов’язані ще два важливі класи функцій, які використовують при апроксимації:

3) дрібнораціональні функції

(2.4)

4) сплайни (кусково-поліноміальні функції) – поліноми невисокого степеня, як правило третього (кубічного сплайну).

Важлива позитивна якість апроксимуючих багаточленів виду (2.1) – це їх лінійність відносно невідомих коефіцієнтів , які треба знайти для побудови апроксимації, що дуже зручно і дозволяє будувати досить ефективні алгоритми найкращого приближення за допомогою таких функцій.

Вибір системи базисних функцій на практиці визначається: різними додатковими умовами (наприклад, необхідність досягти більшої швидкодії при обчисленні на ЕОМ); або аналітичними особливостями функції , яку необхідно апроксимувати (наприклад, якщо – періодична, то можливо, тригонометричному базису слід надати перевагу).