Решение. Выбираем произвольные направления токов в ветвях схемы и строим граф цепи (рис

Выбираем произвольные направления токов в ветвях схемы и строим граф цепи (рис. 1.23,б). В этом графе ветви 3, 4, 5 выбраны в качестве ветвей дерева, ветви 1, 2, 0 являются ветвями связи, контуры 1-5-3, 2-4-5, 0-3-4 являются главными.

Количество неизвестных токов В = 6, количество узлов У = 4, количество главных (независимых) контуров К = 3.

Система уравнений Кирхгофа для расчёта токов

Узел 1: I ₃ + I ₁ – I ₀ = 0; (1.9)

2: I ₀ – I ₂ – I ₄ = 0; (1.10)

3: I ₂ – I ₅ – I ₁ = 0; (1.11)

Контур I: I ₁× r ₁ – I ₅× r ₅ – I ₃× r ₃ = 0; (1.12)

II: I ₂× r ₂ – I ₄× r ₄ + I ₅× r ₅ = 0; (1.13)

III: I ₀× r ₀ + I ₃× r ₃ + I ₄× r ₄ = E. (1.14)

Для уменьшения количества уравнений в системе воспользуемся способом подстановки: из (1.9), (1.10), (1.11) выразим токи ветвей дерева через токи ветвей связи и подставим в (1.12), (1.13), (1.14). Получим систему из трёх уравнений:

I ₁× (r ₁ + r ₅ + r ₃ ) – I ₂× r ₅ – I ₀× r ₃ = 0,

I ₂× (r ₂ + r ₄ + r ₅ ) – I ₁× r ₅ – I ₀× r ₄ = 0, (1.15)

I ₀× (r + r ₃ + r ₄ ) – I ₁× r ₃ – I ₂× r ₄ = E.

Система с числовыми значениями:

110× I ₁ – 30× I ₂ – 60× I ₀ = 0,

-30× I ₁ + 100× I ₂ – 30× I ₀ = 0,

-60× I ₁ – 30× I ₂ + 100× I ₀ = 400.

По методу Крамера

D = =

= 10³×(11×10×10 – 3×3×6 – 3×3×6 – 6×10×6 – 3×3×11 – 3×3×10) = 443×10³;

D ₁= = 400×(30×30 + 60×100) = 276×10⁴;

D ₂= = -400×(-30×110 – 30×60) = 204×10⁴;

D ₀= = 400×(110×100 – 30×30) = 404×10⁴.

Токи ветвей связи I ₁ = = = 6,23 A;

I ₂ = = = 4,61 A;

I ₀ = = = 9,12 A.

Токи ветвей дерева I ₃ = I ₀ – I ₁ = 9,12 – 6,23 = 2,89 A;

I ₄ = I ₀ – I ₂ = 9,12 – 4,605 = 4,52 A;

I ₅ = I ₂ – I ₁ = 4,605 – 6,23 = -1,63 A.

Баланс мощностей E × I ₀ = .

400×9,12 = 9,12²×10 + 6,23²×20 + 4,61²×40 + 2,89²×60 + 4,52²×30 + 1,63²×30,

SР_Г = 3648 Вт; SР_П = 3648 Вт.

Баланс мощностей сошёлся. Задача решена верно.

ЗАДАЧА 1.16. Рассчитать токи во всех ветвях цепи, представленной на рис. 1.24, если:

E ₁ = 100 B, E ₂ = 50 B, r ₁= r ₂= 10 Ом, r ₃= 20 Ом.

Ответы: I ₁ = 4 A; I ₂ = -1 A; I ₃ = 3 A.

ЗАДАЧА 1.17. В схеме рис. 1.25 определить токи во всех ветвях с применением законов Кирхгофа, если E ₁ = 100 B, E ₂ = 50 B, J = 5 A;

r ₁= r ₂= 10 Ом, r ₃= 20 Ом.

Ответы: I ₁ = 6 A; I ₂ = 1 A; I ₃ = 2 A.

ЗАДАЧА 1.18. Определить токи по законам Кирхгофа в ветвях схемы (рис. 1.26) и проверить баланс мощностей, если: E ₁ = 120 B, E ₂ = 60 B, J = 4 A; r ₁= r ₂= 20 Ом, r ₃= 5 Ом, r ₄= 15 Ом.

Ответы: I ₁ = 2 A; I ₂ = -1 A; I ₃ = 1 A,

I ₄ = 5 A, P = 480 Bт.

ЗАДАЧА 1.19. Определить токи в ветвях мостовой схемы (рис. 1.27), если известны параметры цепи:

Е = 4,4 В, r ₁ = 20 Ом, r ₂ =60 Ом, r ₃ = 120 Ом, r ₄ =8 Ом, r ₅ = 44 Ом.

Ответы: I = 0,2 А; I ₁ = 0,156 А; I ₂ = 0,044 А;

I ₃ = 0,004 А; I ₄ = 0,16 A; I ₅ = 0,04 А.