К разделу 3.6

1. Определите, в каком отношении находятся попарно взятые суждения:

1) Если идет дождь, то крыши мокрые. – Дождя нет, а крыши мокрые.

2) Неверно, что все млекопитающие – хищники. – Некоторые млекопитающие являются хищниками.

3) Если подсудимый виновен, то у него был сообщник. – Подсудимый виновен, но у него не было сообщника.

4) Если бы Иван Четвёртый был зол по природе и не заботился об интересах государства, то он не отменил бы опричнины. – Неверно, что Иван Четвёртый был зол по природе и не заботился об интересах государства, тогда и только тогда, когда Иван Четвертый не был зол по природе или заботился об интересах государства.

* Выполняя упражнение, начните с выяснения того, сложными или простыми являются суждения в каждом пункте задания. Если суждения простые, отношения между ними определяются (если необходимо, после преобразований) по логическому квадрату. Например: «Неверно, что все S суть P». – «Некоторые S суть P». Преобразуем первое суждение «Неверно, что все S суть P»: оно равнозначно (эквивалентно) суждению «Некоторые S не суть P» Полученное суждение является простым, частноотрицательным (о). Второе суждение – «Некоторые S суть P»- частноутвердительное (i). Суждения o и i (см. по логическому квадрату) находятся в отношении подпротивоположности.

В случае сложных высказываний сначала составляются их логические формулы (см. задание 2. к разд. 3.4), после чего для них строится совместная таблица истинности. Определив отсутствующие комбинации истинностных значений, устанавливаем, в каком отношении находятся формулы.

Например: «Жарко, и идет дождь». – «Дождь не идет, но не жарко».

р – «жарко», q – «идет дождь», тогда ┐р – «не жарко», ┐q –«дождь не идет».

Первое высказывание: pÙq.

Второе высказывание: ┐q Ù┐p

Строим совместную таблицу:

р	q	рÙq	┐p	┐q	┐q Ù┐p
и	и	и	л	л	л
и	л	л	л	и	л
л	и	л	и	л	л
л	л	и	и	и	и

Сравнивая значения результирующих столбцов 1 и 2, выписываем встречающиеся комбинации значений истинности:

и – л

л – л

л – и.

Отсутствует комбинация: и – и. Отсюда делаем вывод, что наши исходные суждения находятся в отношении противоположности.

2. Определите, в каких отношениях находятся сложные суждения в следующих парах:

а) Студент не допускается к сдаче экзаменов, если он не сдал зачеты. – Если студент сдал зачеты, то он допускается к сдаче экзаменов.

б) Число может не делиться на 9, но при этом делиться на 3. – Неверно, что если число не делится на 3, то оно не делится на 9.

в) Повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям человеческой истории, невозможно понять логику этой истории. – Неверно, что логику человеческой истории можно понять только при условии рассмотрения наиболее интригующих ее событий.

г) Свидетель не знает потерпевшего или не говорит правды. – Если свидетель говорит правду, то он не знает потерпевшего.

д) Неверно, что только один из этих двух экзаменов не был трудным. – Оба эти экзамена были трудными.

е) Неверно, что, не зная правил грамматики, нельзя писать грамотно. – Неверно, что либо человек знает правила грамматики, либо не может писать грамотно.

Пример: Либо глагол в неопределенной форме оканчивается на «ить», либо он не относится ко второму спряжению. – Неверно, что глагол в неопределенной форме не оканчивается на «ить» в том и только том случае, если он не относится ко второму спряжению.

Запишем логические формы данных суждений и построим их общую таблицу:

p	q	(p		┐q)	┐	(┐p	≡	┐q)
и	и	и	и	л	л	л	и	л
и	л	и	л	и	и	л	л	и
л	и	л	л	л	и	и	л	л
л	л	л	и	и	л	и	и	и

Как видно по результирующим столбцам, данные суждения находятся в отношении противоречия (поскольку отсутствуют строки и – и, л – л).

3. Могут ли быть правы оба человека, один из которых высказывает первое суждение (из следующих пар), а другой — второе?

а) Во всех книгах есть опечатки. — В некоторых книгах есть опечатки.

б) Некоторые крокодилы — людоеды. — Ни один крокодил не является людоедом.

в) Неверно, что никакое умение не дается без труда. — Неверно, что всякое умение дается без труда.

г) Неверно, что некоторые книги бесполезны. — Неверно, что все книги бесполезны.

д) Не в каждой библиотеке есть этот учебник. — Ни в одной библиотеке нет этого учебника.

е) Каждый может разобраться в этой теореме. — Неверно, что никто не может разобраться в этой теореме.

ж) Нет трудностей, которые нельзя преодолеть. — Не всякая трудность преодолима.

з) Не всякий ребенок любит сладкое. — Некоторые дети любят сладкое.

и) Не существует полной демократии. — Каждая демократия неполна.

к) Некоторые научные открытия не вполне понятны современникам. — Не каждое научное открытие вполне понятно современникам.

Пример. Не всякое правило имеет исключение. – Ни одно правило не имеет исключений.

Определяем вид первого и второго суждений, исходя из того, что они должны иметь одинаковые субъект («правило») и предикат («имеет исключение»): ┐ a и e соответственно. Поскольку отношения по логическому квадрату можно установить только между суждениями без внешнего отрицания, преобразовываем ┐ a в эквивалентное ему o. Отношение между o и e — подчинение (от второго к первому), при котором оба суждения могут быть истинными. Значит, ответ на вопрос упражнения – утвердительный.

4. Определите отношения между категорическими суждениями:

а) Не каждый человек грамотен. — Некоторые люди грамотны.

б) Всякое открытие ведет к новым проблемам. — Не всякое открытие ведет к новым проблемам.

в) Ни одно событие не имело таких последствий. — Не каждое событие имело такие последствия.

г) На всякого мудреца довольно простоты. — Не на всякого мудреца довольно простоты.

д) Некоторые книги не кажутся безвредными. — Не все книги не кажутся безвредными.

е) Неверно, что ни один учебник логики не читается легко. — Не все учебники логики читаются легко.

ж) В отдельные дни августа шел дождь. — Ни один день августа не был дождливым

з) Ни в одном уголовном кодексе нет статьи о спекуляции. — Неверно, что ни в одном уголовном кодексе нет статьи о спекуляции.

и) Встречаются животные, съедающие за день больше собственного веса. – Большинство животных не съедает за день больше собственного веса.

к) Ни в одном послевоенном году не было такой засухи. — Неверно, что в отдельные послевоенные годы была такая засуха.

л) Нет ничего тайного, что не стало бы явным. — Не существует такого тайного, которое стало бы явным.

м) Каждая война сопровождается жертвами и потерями. — Не бывает войн без жертв и потерь.

Пример. Некоторые задачи из этого учебника может решить только специалист. — В этом учебнике нет задач, которые может решить только специалист.

Определим типы суждений, при условии идентичности их субъектов и предикатов. При субъекте «задачи этого учебника» и предикате «может решить только специалист» первое суждение — i; второе — ┐ i («Не существует задач этого учебника, которые может решить только специалист»). Отношение между ними — противоречие, как между любым суждением и его отрицанием. (Можно и так: эквивалентно преобразуем ┐ i в e и увидим на логическом квадрате, что между e и i имеет место отношение противоречия).

5. Определите, могут ли быть одновременно истинными или одновременно ложными данные пары суждений:

1. Некоторые государства под влиянием колонизаторов приняли монархическую форму правления. – Не все государства под влиянием колонизаторов не приняли монархическую форму правления.

2. Преступники не могли проникнуть в магазин через отверстие в стене. – Преступники проникли в магазин через отверстие в стене.

3. Некоторые данные могут быть судебными доказательствами. – Не всякие данные могут быть судебными доказательствами.

4. Организатором ограбления кассы был М.М. – Организатором ограбления кассы был А.А.

5. Все студенты 1-й группы подготовились к зачету по философии. – Некоторые студенты 1-й группы не подготовились к зачету по философии.

6. Все органы государства имеют полномочия на издание нормативных актов. – Не каждый орган государства имеет полномочия на издание нормативных актов.

7. Г. был на месте преступления. – Г. не был на месте преступления.

8. Окна во всех этажах дома были ярко освещены. – Окна были ярко освещены не во многих этажах дома.

9. Все студенты 1-й группы подготовились к зачету по логике. – Многие студенты 1-й группы не подготовились к зачету по логике.