К разделу 3.5

1. Определите при помощи таблиц истинности, какие из следующих формул являются законами логики:

1) (p Ú┐q) Ú (┐pÙq);

2) p Ú ┐p;

3) p→ q º p Ù┐q;

4) ((p→ (q Ù r)) Ù (┐q Ú ┐r)) →┐p;

5) ┐ (p Ú q) º ((pÙq) Ú (┐p Ù┐q));

6) (p → q) → (┐ q → ┐ p).

*Логическим законом называют формулу, в результирующем столбце таблицы истинности которой встречаются только значения «истина». Рассмотрим для примера формулу: (p→q)→ ( ┐ q → ┐ p). Строим таблицу истинности.

Прежде всего, подсчитаем, сколько в формуле различающихся переменных: их две – p и q. Значит, количество строк в таблице можно вычислить, оно равно 2 в степени n, где n - число переменных. В нашем варианте число строк будет равно 4. Теперь выписываем слева переменные и задаем их истинностные значения таким образом, чтобы перебрать все их возможные комбинации. Пользуясь табличным определением логических союзов, последовательно выполняем операцию установления истинности формулы для каждого набора значений переменных.

Вывод: в результирующем столбце таблицы только значение «истина», значит, выражение является логическим законом.

р	q	┐р	┐q	p→q	┐q→┐р	(p→q)	→	(┐q→┐р)
и	и	л	л	и	и		и
и	л	л	и	л	л		и
л	и	и	л	и	и		и
л	л	и	и	и	и		и

2. Восстановите скобки и найдите главную логическую константу в каждой из следующих формул:

а) pÙ┐q→r ≡ p→ (┐q→r)

б) ┐(pÙq→ p)

в) pÙq→r

г) ┐q→ (p Ú r) Ú q

Постройте таблицы истинности для этих формул.

3. Дизъюнкция «pÚq» - ложна. Суждение «q» - тоже ложно. Какое значение у «р»?

4. Известно, что q – истинно, а p – ложно. Определите истинностные значения формул:

а) p ≡ (q→ ┐ p); б) (┐ pÙq) ≡(q Ú ┐q)

5. Одного человека судили за участие в ограблении. Обвинитель и защитник в ходе судебного заседания заявили следующее:

Обвинитель: Если подсудимый виновен, то у него был сообщник.

Защитник: Неверно!

Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему?

6. По обвинению в ограблении перед судом предстали А, В и С. Они заявили следующее:

А: Если я или В виновны, то С виновен

В: Я не виновен, но А или С виновны.

С: Ни один из нас не виновен.

При этом стало известно, что А и В сказали правду, а С солгал. В свете этого факта, чья виновность и чья невиновность не вызывают сомнений и чья виновность остается под вопросом?

7. Я люблю по крайней мере одну из трех девушек Марину, Ирину или Анну. Если я люблю Ирину, а не Анну, то я также люблю Марину. Я или люблю Анну и Марину или не люблю их обеих. Если я люблю Анну, то я люблю и Ирину. Кого из девушек я люблю?

8. Ответьте на следующие вопросы задачи Кислера:

Браун, Джонс и Смит обвиняются в подделке сведений о подлежащих налоговому обложению доходах. Они дают под присягой такие показания:

Браун: Джонс виновен, а Смит не виновен.

Джонс: Если Браун виновен, то виновен и Смит.

Смит: Я невиновен, но хотя бы один из них двоих виновен.

а) Если показания всех обвиняемых верны, то кто виновен, а кто не виновен?

б) Если все трое невиновны, то кто совершил лжесвидетельство?

в) Если невиновный говорит правду, а виновный лжет, то кто виновен, а кто не виновен?

г) Если все трое правы, то кто говорит правду, а кто лжет?

д) Может ли лгать Браун, если Джонс и Смит оба говорят правду?

е) Может ли Джонс лгать, если Браун и Смит говорят правду, и кто в этом случае виновен, а кто невиновен?

*Указание: Постройте общую истинностную таблицу для логических форм показаний всех обвиняемых, пометив авторов показаний. Входные столбцы таблицы означают виновность или невиновность обвиняемых, а результирующие столбцы для формул – истинность или ложность их показаний.

Пример: Возможно ли, что тот, кто виновен, говорит правду, а тот, кто невиновен, лжет? Ответ будет положительным, если в таблице найдется строка, где при истинности высказывания: «Браун виновен» истинно и показание Брауна, и всех остальных, а при ложности высказывания «Браун виновен» ложно и его показание, и всех остальных. Иначе говоря, ответ будет положительным, если найдется такая строка в таблице, в которой истинностные значения формул совпадут с истинностными значениями переменных во входных столбцах (при условии, что эти переменные символизируют высказывания, утверждающие виновность).