Условная вероятность

Говорить о вероятности как о мере возможности появления случайного события имеет смысл только при осуществлении определённого комплекса условий эксперимента, в рамках которого это случайное событие может происходить или не происходить. При изменении условий эксперимента, вообще говоря, изменится и вероятность. Пусть, например, в урне два белых шара и три чёрных. Два игрока последовательно вынимают из урны по одному шару. Событие - появление белого шара у первого лица, событие - появление белого шара у второго лица. Вероятность события без учёта того, произошло или нет событие , равна , но если известно, что событие произошло, то вероятность события очевидно равна . Следовательно, вероятность одного события может зависеть от того, учитывается или нет наступление другого события. Рассмотрим определение условной вероятности с позиции частотной интерпретации вероятности. Пусть случайный эксперимент повторяется раз. При этом событие появляется в этой серии , а событие - раз. Обозначим через число тех повторений эксперимента, которые закончилась одновременным появлением событий и . Тогда - частота наступления события , а - доля тех случаев, когда эксперимент заканчивался наступлением события среди только тех случаев, в которых обязательно происходили событие . Это число называется условной частотой наступления события при условии, что событие произошло, или, коротко, условной вероятностью события при условии события .

В соответствии с частотной интерпретацией вероятности при частота события стремится к вероятности события . Покажем, что условная частота также <<имеет предел>>:

.

Предел условной частоты называется условной вероятностью события при условии и обозначается . Тогда из полученного соотношения следует, что . Это предел одной и той же последовательности. Эти рассуждения приводят к математическому определению понятия <<условная вероятность>>.

Определение. Условной вероятностью события при условии называется число , равное

.

Из равенства для условной вероятности вытекает теорема умножения вероятностей.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое из них произошло:

.

Следствие. Вероятность произведения нескольких событий равна вероятности этих событий, причём вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место.

.

Для условной вероятности сохраняются все свойства безусловной вероятности:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) если , то ;

6) если событие , то ;

7) если , то ;

Задача 1. Кубик с пронумерованными гранями подбрасывается два раза. Пусть событие состоит в том, что сумма выпавших очков не больше , а событие - состоит в том, что выпадает хотя бы одна единица. Найти условные вероятности , .

Решение. Пространство элементарных событий

,

состоит из событий. (Отметим, что и - разные события, так как в противном случае нарушается гипотеза о равновероятности исходов: выпадает в два раза чаще, чем ).

Событие ;

Событие .

Анализируя множества и видим, что они содержат подмножество

, , состоящее из - ми элементов (событий). Таким образом, число повторений эксперимента, в котором одновременно появляются события и равно , .

Отсюда

, .

Задача 2. На складе имеется деталей, произведенных на двух станках: - на первом станке и деталей – на втором. Среди деталей имеется доброкачественных деталей. Какова вероятность при случайном извлечении детали со склада получить доброкачественную деталь, изготовленную на первом станке?

Случайное извлечение означает, что элементарные события равновероятны.

Решение. Событие - деталь, случайно выбранная среди , окажется произведенной на первом станке, т.е. из ; событие - деталь, которая окажется доброкачественной; - деталь и доброкачественная, и с первого станка. Отсюда получаем

.

По существу, рассматривая условные - и безусловные - - вероятности в связи с некоторым реальным комплексом условий, мы имеем дело с двумя экспериментами - <исходным >>, заданным некоторым реальным комплексом условий, и <<новым>>, с расширенным комплексом условий, в который помимо исходного реального комплекса условий включены дополнительные условия, приводящие к обязательному осуществлению события

.

<<Исходный>> эксперимент формально описывается пространством элементарных исходов и безусловными вероятностями, заданными на нём.

<<Новому>> эксперименту, учитывающему, что событие происходит, соответствуют новое пространство элементарных исходов и новые вероятности – условные. Пространство элементарных исходов состоит из тех элементарных исходов пространства , которые благоприятствуют наступлению события , т.е. .