Схема выбора с возвращениями

Если при выборке из элементов из элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов. Число всех размещений из элементов по с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле

.

Отметим следующее, в схеме выбора без возвращений размещение такое, что . В схеме выбора с возвращением такого ограничения нет!

Пример 7. Из 3 элементов составить все размещения по два элемента с повторениями.

Число размещений с повторениями . Приведём эти способы размещений с повторениями: .

Пример 8. Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры: а) 2, 5, 7, 8; б) 0, 1, 9?

а) Все пятизначные числа, составленные из цифр 2, 5, 7, 8, отличаютсядруг от друга либо порядком их следования (например, 25558 и 52855), либо самими цифрами (например, 52788 и 78888). Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с повторениями, т.е. . Таким образом, искомое число пятизначных чисел равно . Этот же результат можно получить, используя правило умножения: первую цифру в пятизначном числе можно выбрать четырьмя способами, вторую - тоже четырьмя способами, третью – четырьмя, четвёртую – четырьмя, пятую – четырьмя. Всего получается пятизначных чисел.

б) Если пятизначные числа состоят из цифр 0, 1, 9, то первую цифру слева можно выбрать двумя способами ( не может занимать первую позицию), каждую из оставшихся четырёх цифр можно выбрать тремя способами. Согласно правилу умножения, таких чисел будет .

(Иначе .).

Если при выборке элементов из элементы возвращаются обратно без последующего упорядочения, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Число сочетаний из элементов по с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле

.

Напомним, что в схеме выбора без возвращений величина такая, что . В схеме выбора с повторениями должно быть или . Другими словами в этой схеме возможно неравенство .

Пример 9. Из трёх элементов составить все сочетания по два элемента с повторениями.

Это число сочетаний по два с повторениями равно . Составляем эти сочетания с повторениями: .

Пример 10. Сколькими способами можно составить букет из 5 цветов, если в наличии есть цветы трёх сортов?

Рассматриваемое множество состоит из трёх различных элементов, а выборки имеют объём, равный 5. Поскольку порядок расположения цветов в букете не играет роли, то искомое число букетов равно числу сочетаний с повторениями из трёх элементов по 5 в каждом. Поэтому число букетов можно подсчитать по формуле

.

Пусть в множестве с элементами есть различных элементов, при этом 1-ый элемент может повторяться раз, 2-ой элемент - раз …, -й элемент - раз, причём .

Перестановки из элементов данного множества называют перестановками с повторениями из элементов.

Число перестановок с повторениями из элементов обозначается символом и вычисляется по формуле

.

Пример 11. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 3,3,5,5,8?

Заметим, что , , . Далее .

Число чисел можно рассчитать по формуле

.