Фундаментальная система решений. Общее решение однородного ЛДУ. Задача Коши

Определение «фундаментальная система решений» является основополагающим при построении решения ЛДУ порядка n. Легко заметить, что это понятие базируется на вышеизложенных определениях и критериях о линейной зависимости (или независимости) функций.

Совокупность решений ЛДУ, определённых и линейно независимых в интервале , называется фундаментальной системой решений (ФСР) в этом интервале. Для того чтобы система из решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы вронскиан этих решений был отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала непрерывности коэффициентов уравнения (2.2), т.к. если вронскиан отличен от нуля хотя бы в одной точке интервала , то он отличен от нуля на всём интервале. Все решения ненулевые.

Теперь, используя третье свойство решений ЛДУ, мы можем записать общее решение однородного дифференциального уравнения.

Если – фундаментальная система решений уравнения , то

(2.4)

есть общее решение однородного ЛДУ порядка в области:

, , ,… ,

( – произвольные постоянные числа).

Продифференцируем (2.4) раз:

(2.5)

Если мы зададим числовые значения , , …, , то сможем разрешить линейную систему уравнений (2.5) по отношению к , причём единственным образом, так как определитель этой системы (вронскиан) не равен нулю. В выражении (2.4) содержатся все решения уравнения .

Подставив найденные коэффициенты в (2.4), получим решение задачи Коши для однородного уравнения порядка с начальными условиями .