Уравнение Бернулли

На этом примере мы познакомимся с методом замены переменных для решения уравнений, у которых в исходном виде решение записать нельзя.

Это уравнение имеет вид:

(1.35)

Полная характеристика уравнения будет следующая:

1. Порядок уравнения – 1.

2. Коэффициенты переменные – (p(x)).

3. Не линейное. Неизвестная функция y(x) в степени отличной от нуля и единицы.

Данное уравнение приводится к линейному с помощью подстановки (замены переменных), следующим образом:

. (1.36)

Разделим левую и правую часть (1.35) на .

(1.37)

Про дифференцируем по x выражение (1.36). Производную от y(x) вычислим как производную от сложной функции.

(1.38)

Используя выражения (1.36) и (1.38) из (1.37) получим:

(1.39)

Последнее выражение – это линейное не однородное уравнение

первого порядка. Общее решение такого уравнения (из (1.18)) будет:

Решение исходного уравнения найдём из условия (1.36).

Примеры. 1. ; n=2; .

Разделим на и вычислим производные:

, .

В итоге получим линейное уравнение для переменной z(x).

.

Его решение будет:

. (1.40)

Решение для y(x) по (1.36) будет:

.

2.

По выражению (1.39) запишем уравнение для z(x):

По формуле решения линейного не однородного уравнения первого порядка запишем для z(x):

Общий интеграл для исходного уравнения по условию (1.36) будет: