Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Однородные ЛДУ порядка с постоянными коэффициентами записываются следующим образом:
(2.6)
где – вещественные константы.
Задача построения общего решения (2.6) будет решена, если будет найдена фундаментальная система решений.
1. Случай действительных различных корней характеристического уравнения
Для уравнения первого порядка
,
решение запишется в виде
Эйлер предложил и решение уравнения (2.6) искать в таком же виде, т.е. . Если данная функция - решение (2.6), то она должна обращать это уравнение в тождество:
где
– характеристический полином, который легко получить из однородного ЛДУ, заменив производные от на l в соответствующей степени. При коэффициенте l0=1. Ясно, что - решение для тех l, которые обращают в нуль.
Тогда – характеристическое уравнение. Его корни – характеристические числа однородного уравнения.
Пусть все - различные и вещественные числа. Подставив в функцию , найдём вещественных частных решений (2.6):
Эти решения - линейно независимые (их вронскиан не равен нулю для всех ), т.е. составляют фундаментальную систему решений (ФСР).
Тогда согласно (2.4)
есть общее решение линейного однородного уравнения порядка с постоянными коэффициентами (2.6), где:
– характеристические числа;
– произвольные коэффициенты;
– порядок уравнения (порядок старшей производной);
– фундаментальная система решений.
Задача Коши для заданных числовых значений приводит к решению системы алгебраических уравнений (2.5) относительно .
Пример. Дано дифференциальное уравнение
.
Характеристический полином запишется в виде
а характеристические числа (корни данного полинома) будут
Тогда -ФСР, а общим решением будет функция
Решим задачу Коши для начальных условий:
Запишем по (2.5) систему уравнений для заданных начальных условий:
После подстановки численных значений начальных условий получим систему алгебраических уравнений по отношению :
Решив последнюю систему, получим: =0.5, =1, = -0.5, и решение в форме Коши будет иметь вид
2. Случай различных комплексных корней характеристического уравнения
Пусть среди корней характеристического полинома есть некоторый комплексный корень:
где и – числа, .
Так как все коэффициенты полинома вещественные, тогда есть и сопряжённый ему корень
.
Таким образом, решение для корня будет комплексным.
Ранее было показано, что каждая комплексная функция, являющаяся решением ЛДУ, порождает два вещественных решения, причём линейно независимых , т.е. входящих в фундаментальную систему решений:
Для сопряжённого корня решениями будут:
При этом первые решения совпадают, а вторые - линейно зависимы. Таким образом, сопряжённый корень не порождает новых вещественных, линейно независимых решений, и соответствующие ему функции не включаются в ФСР.
Всего получим решений вида:
образующих фундаментальную систему решений, а общее решение запишется в следующей форме
.
Если число комплексных корней больше двух, то в этом случае общее решение запишется в виде
(2.7)
где – число корней действительных разных;
– порядок дифференциального уравнения;
;
– число комплексных и сопряжённых корней;
Пример. Построим общее решение уравнения
.
Найдем характеристическое уравнение и его корни:
Фундаментальной системой решений, для данных , будут функции:
Тогда общим решением заданного однородного уравнения с постоянными коэффициентами будет функция
.
3. Случай кратных корней.
Для пояснения термина «кратные корни» рассмотрим полином второго порядка .
Тогда: , .
В примере полином имеет два кратных корня. В общем случае число кратных корней может быть ( £ ), где - порядок дифференциального уравнения (порядок полинома).
Теперь изучим, как наличие кратных корней связано с построением ФСР для уравнений с постоянными коэффициентами.
Пусть l1 – -кратный корень характеристического уравнения. Тогда
(2.8)
То есть производные от по при до порядка равны нулю. Продифференцируем раз по тождество
и получим
(2.9)
Напомним, что -дифференциальный оператор, определяющий конкретный вид уравнения.
В (2.9) производная порядка от характеристического полинома по переменной . Тогда на основании (2.8):
(2.10)
Отсюда функции: являются решениями уравнения (2.6). Они линейно независимы (их вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала по ) и составляют фундаментальную систему из K решений.
Пример 1. Построим общее решение уравнения
.
Характеристическое уравнение и его корни равны:
, , .
Тогда ФСР запишется следующим образом:
а общее решение: .
Пример 2. Построим общее решение уравнения
Запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:
B данном примере мы имеем корни комплексные сопряжённые, кратные. Для построения ФСР воспользуемся общими правилами, с которыми уже знакомы: сопряжённые корни () не порождают новых, линейно независимых решений, а для .
Тогда ФСР будет
а общее решение
В заключение этого раздела укажем последовательность действий при решении однородных уравнений порядка с постоянными коэффициентами.
1. Записываем характеристический полином .
2. Находим характеристических корней этого полинома.
3. Записываем ФСР согласно виду характеристических чисел (корни действительные разные; комплексные; кратные).
4. Записываем общее решение.
5. Решаем задачу Коши (если заданы начальные условия):
а) вычисляем (n-1) производных от общего решения;
б) в полученную систему уравнений подставляем численные значения:
в) решаем полученную систему алгебраических уравнений по отношению к произвольным коэффициентам ;
г) записываем общее решение в форме Коши с найденными числовыми значениями .
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 410 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!