Изоморфизм линейных пространств

Определение 24. Два линейных пространства L и L¹ над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L¹, что для любых векторов а и в из L и любого элемента l Î Р выполняются условия: j(а + в) = j(а) + j(в), j(l а) = lj(а).

Отображение j называется изоморфизмом.

Определение 24 можно заменить следующим эквивалентным определением.

Определение 25. Два линейных пространства L и L¹ над одним и тем же полем Р называются изоморфными, если существует такое взаимнооднозначное отображение j: L ® L¹, что для любых векторов а и в из L и любых элементов l, m Î Р выполняется условие: j(l а + m в) = lj(а) + mj(в).

Свойства изоморфизма.

1. j(0) = 0¹, где 0 и 0¹ – нулевые вектора в пространствах L и L¹ соответственно.

2. Если а₁, а₂, …, а_к – любая система векторов из L и j(а₁) = а₁¹, j(а₂) = а₂¹, …, j(а_к) = а_к¹, то j(a₁ а₁ + a₂ а₂ + … + a_к а_к) = a₁ а₁¹ + a₂ а₂¹ + … + a_к а_к¹.

3. Если а₁, а₂, …, а_к –линейно независимая система векторов из L и j(а₁) = а₁¹, j(а₂) = а₂¹, …, j(а_к) = а_к¹, то система векторов а₁¹, а₂¹, …, а_к¹ – линейно независима в L¹.

4. Если а₁, а₂, …, а_к –линейно зависимая система векторов из L и j(а₁) = а₁¹, j(а₂) = а₂¹, …, j(а_к) = а_к¹, то система векторов а₁¹, а₂¹, …, а_к¹ – линейно зависима в L¹.

5. Если L – n- мерное линейное пространство, то L¹ – тоже n -мерное линейное пространство.

6. При изоморфизме образом любого базиса из L является базис из L¹.

Примеры изоморфных пространств.

1. Арифметическое линейное пространство А_n над полем Р изоморфно пространству многочленов степени не выше (n – 1) с коэффициентами из поля Р.

2. Пространство квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р изоморфно арифметическому линейному пространству размерности n² над полем Р.