Уравнение Бернулли для идеальных жидкостей

Для вывода уравнения Бернулли необходимо преобразовать и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения Эйлера, чтобы перейти от элементарного объёма ко всему объёму жидкости. Сначала разделим обе части уравнений системы на ρ, получим:

- ( р/ х)·dx = d(w_x²/2),

- ( р/ у)·dy = d(w_y²/2),

- (ρg + ( р/ z))·dz = d(w_z²/2),

Сложим уравнения системы друг с другом (левые части с левыми, правые с правыми), получим: - (( р/ х)·dx + ( р/ у)·dy + ( р/ z)·dz) – gdz =

= d(w_x²/2) + d(w_y²/2) + d(w_z²/2) (3.4),

Как видно, в скобках в левой части уравнения 3.4 представлен полный дифференциал р по dр. Тогда:

- ·dp – gdz = d(w²/2),

+ gdz + d(w²/2) = 0, (разделим обе части уравнения на g)

+ dz + d(w²/2g) = 0,

при постоянной температуре gp=const:

d(p/ρg)+ dz + d(w²/2g) = 0,

Проинтегрируем:

∫d(p/ρg+ z + w²/2g) =∫ 0

z + p/ρg+ w²/2g = const (3.5) - уравнение Бернулли

z – нивелирный напор, p/ρg – пьезометрический напор, z + p/ρg - полный гидростатический напор, w²/2g – динамический (скоростной напор), выражает удельную кинетическую энергию движения жидкости.

z + p/ρg+ w²/2g – полный гидродинамический напор, обозначим Н.

Для двух произвольных сечений жидкости можно записать:

z₁ + p₁/ρg+ w ₁²/2g = z₂ + p₂/ρg+ w ₂²/2g (3.6),

то есть для любого сечения или точки потока при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной (z + p/ρg) и кинетической (w²/2g) энергий жидкости остаётся величиной постоянной. Таким образом, уравнение Бернулли выражает частный случай закона сохранения энергии.