Основное уравнение гидростатики

Для получения закона распределения давления во всём объёме покоящейся жидкости необходимо эту систему уравнений проинтегрировать. После интегрирования уравнений (2.1) и (2.2) выясняется, что значение давления вдоль оси х и вдоль оси у не изменяется, остаётся постоянным.

Т.к. -ρg - ( р/ z)=0,

- р/ z = ρg - давление вдоль оси z изменяется, это изменение давления можно вычислить, зная плотность жидкости.

Значит, давление не является функцией трёх переменных х, у, z, а является функциейтолько переменной z: р = φ(z)

Частная производная р/ z может быть заменена на dp/dz и следовательно: -ρg – dр/dz = 0.

Умножим обе части уравнения на –dz: dp + ρgdz = 0.

Разделим обе части уравнения на ρg: dz + dp/ρg = 0.

Для несжимаемой однородной жидкости при постоянной температуре плотность постоянна следовательно: dz + d(р/ρg)= 0, d(z + р/ρg)= 0.

Проинтегрируем: ∫d(z + р/ρg)= ∫0,

z + р/ρg = const, ρg = γ - относительный удельный вес,

z + р/γ = const (2.4) – основное уравнение гидростатики.

Это уравнение говорит о том, что жидкость, находящаяся в равновесии и в покое обладает какими-то видами энергии, т.е. основное уравнение гидростатики – это частный случай закона сохранения энергии.

Выразим энергию в произвольных точках 1 и 2 внутри покоящейся однородной капельной жидкости относительно произвольно выбранной плоскости отсчёта (рис. 2). Плоскость отсчёта перпендикулярна плоскости рисунка, ОО – линия пересечения плоскости отсчёта с плоскостью рисунка.

z₁ и z₂ - высоты расположения двух точек внутри покоящейся жидкости, называются нивелирным или геометрическим напором. Геометрический напор выражает удельную потенциальную энергию положения данной точки 1 или 2 над произвольно выбранной плоскостью сравнения ОО.

Рис. 2. К основному уравнению гидростатики

p₁ и р₂ – пьезометрическое давление столба жидкости, находящейся выше точки 1 и 2 соответственно.

p₁/γ и р₂/γ - пьезометрические напоры.

z₁ + р₁/γ = z₂ + р₂/γ (2.5) - для каждой точки покоящейся жидкости сумма нивелирной высоты и пьезометрического напора столба жидкости есть величина постоянная. Или, другими словами, сумма удельной потенциальной энергии положения и удельной потенциальной энергии давления для любой точки покоящейся жидкости есть величина постоянная и равная полному гидростатическому напору.