Дифференциальные уравнения равновесия Эйлера

На жидкость, находящуюся в покое, действуют сила тяжести и сила гидростатического давления. Соотношение между силами, действующими на жидкость, которая находится в состоянии покоя, определяющее условия равновесия жидкости, выражается дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера.

Рис. 1. К выводу дифференциальных уравнений равновесия Эйлера

Выделим внутри покоящейся жидкости элементарный параллепипед объёмом dV = dxdydz, рёбра которого ориентированы параллельно осям координат (рис. 1). Сила гидростатического давления на любую из граней параллепипеда равна произведению гидростатического давления р на площадь этой грани: F = pS

Давление р является функцией трёх переменных: р = f(x.y.z)

Используем принцип статики, согласно которому: сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объём, находящийся в равновесии, равна нулю.

Если по какой-то оси равнодействующая всех сил ∆F не равна нулю, то это действующая сила и жидкость не будет находиться в покое.

Разберём силы, действующие на элементарный параллепипед вдоль оси z. Сила тяжести направлена вниз, параллельно оси z и равна произведению массы параллепипеда dm на ускорение свободного падения g: -dG = -gdm.

dm = ρdV,

-dG = -ρgdV,

dV = dxdydz.

-dG = -ρgdxdydz.

Вдоль оси z на параллепипед действует ещё одна сила – сила гидростатического давления на верхнюю и нижнюю грани. Сила гидростатического давления действует на нижнюю грань по нормали к ней и её проекция на ось z равна р·dxdy, где dxdy – площадь нижней грани. Выберем на ребре dz произвольно точку А. Изменение гидростатического давления в точке А равно р/ z, значит по всей длине ребра dz оно составит ( р/ z)· dz.

Тогда гидростатическое давление на противоположную (верхнюю) грань равно: -(р +( р/ z)· dz). Проекция силы гидростатического давления на ось z: -(р +( р/ z)· dz) ·dxdy.

Проекция равнодействующей силы давления на ось z:

р·dxdy - (р +( р/ z)· dz) ·dxdy.= - ( р/ z)· dxdydz.

Сумма проекций всех сил на ось z равна нулю, т. е.

-ρgdxdydz - ( р/ z)· dxdydz = 0,

(-ρg - ( р/ z))· dxdydz = 0, учитывая, что объём параллепипеда dV = dxdydz не может быть равен нулю, получаем:

-ρg - ( р/ z) = 0 - первое дифференциальное уравнение Эйлера, описывающеезакон изменения давления вдоль оси z.

Ось х: Левая грань: давление р,

сила гидростатического давления р·dzdy.

Выберем на ребре dx произвольно точку В. Изменение давления в точке В равно р/ х, тогда по всей длине ребра оно составит ( р/ х)·dx.

Правая грань: давление р+ ( р/ х)·dx,

сила гидростатического давления -(р+ ( р/ х)·dx) ·dzdy.

Проекция силы тяжести на оси x и y равна нулю. Поэтому сумма проекций всех сил на ось х равна: р·dzdy -(р+ ( р/ х)·dx) ·dzdy

Согласно принципу статики приравняем её нулю:

р·dzdy -(р+ ( р/ х)·dx) ·dzdy= 0,

р·dzdy - р·dzdy - ( р/ х)·dxdzdy= 0,

- ( р/ х)·dxdzdy= 0,

- р/ х = 0 – второе дифференциальное уравнение Эйлера, описывающеезакон изменения давления вдоль оси х.

Соответственно для оси у: - ( р/ у)·dxdzdy= 0,

- р/ у= 0.

Таким образом, условия равновесия элементарного параллепипеда, выбранного в объёме покоящейся жидкости, выражаются системой уравнений:

- р/ х = 0 (2.1),

- р/ у= 0 (2.2),

- ρg - ( р/ z) = 0 (2.3 ).

Это и есть система дифференциальных уравнений равновесия Эйлера.