Двумерные геометрические преобразования

Параллельный перенос

Параллельный перенос в плоском случае имеет вид:

x` = x + Dx

y` = y + Dy

[x’, y’] = [x, y] + [Dx, Dy]

P’ P T

или в векторной форме:

P` = P + T,

где P` = [x` y`] - вектор-строка преобразованных координат,

где x, y - исходные координаты точки,
Tx, Ty - величина сдвига по осям,
x`, y` - преобразованные координаты.
P = [x y] - вектор-строка исходных координат,
P` = [x` y`] - вектор-строка преобразованных координат,
T = [Tx Ty] - вектор-строка сдвига.

Масштабирование

Преобразование масштабирования относительно начала координат имеет вид:

x` = x ·Sx

y` = y ·Sy или

Sx 0

[x`, y`] = [x, y] ·

0 Sy

P` P

S

или в матричной форме:

P` = P ·S,

где Sx, Sy - коэффициенты масштабирования по осям, а

S - матрица масштабирования

Поворот

Преобразование поворота относительно начала координат имеет вид:

x`= x·cos(φ) – y·sin(φ)

y`= x·sin(φ) + y·cos(φ)

или

cos(φ) sin(φ)

[x`, y`] = [x, y] ·

–sin(φ) cos(φ)

P` P

R

Где R – матрица поворота

φ – положительный угол поворота

или в матричной форме:

P` = P ·R,

Столбцы и строки матрицы поворота представляют собой взаимно ортогональные единичные векторы. В самом деле квадраты длин векторов-строк равны единице:

cosf·cosf+sinf·sinf = 1 и

(-sinf) ·(-sinf)+cosf·cosf = 1,

а скалярное произведение векторов-строк есть

cosf·(-sinf) + sinf·cosf = 0.

Так как скалярное произведение векторов A · B = | A | ·| B | ·cosy, где | A | - длина вектора A, | B | - длина вектора B, а y - наименьший положительный угол между ними, то из равенства скалярного произведения двух векторов-строк длины 1 следует, что угол между ними равен 90^°.

Аналогичное можно показать и для векторов-столбцов. Кроме того вектора-столбцы представляют собой такие единичные векторы, которые после выполнения преобразования, заданного этой матрицей, совпадут с осями. В самом деле, произведение первого столбца на матрицу есть

cosf

-sinf

·

cosf

sinf

=

,

-sinf

cosf

т.е. это единичный вектор вдоль оси X. Аналогично, произведение второго столбца на матрицу даст вектор [ 0 1 ]. Это позволяет сформировать матрицу, если известны результаты преобразования.

Преобразование в однородную систему координат

Как видно двумерные преобразования имеют различный вид. Сдвиг реализуется сложением, а масштабирование и поворот - умножением. Это различие затрудняет формирование суммарного преобразования и устраняется использованием двумерных однородных координат точки, имеющих вид:

[ X Y W ].

Здесь W - произвольный множитель не равный 0.

Двумерные декартовые координаты точки получаются из однородных делением на множитель W:

x = X / W, y = Y / W, W 0

Однородные координаты можно представить как промасштабированные с коэффициентом W значения двумерных координат, расположенные в плоскости с Z = W.

В силу произвольности значения W в однородных координатах не существует единственного представления точки, заданной в декартовых координатах.

Преобразования параллельного переноса, масштабирования и поворота в однородных координатах относительно центра координат все имеют одинаковую форму произведения вектора исходных координат на матрицу преобразования.

Будем брать W=1.

Параллельный перенос:

1 0 0

[X`, Y`, 1]=[X, Y, 1]· 0 1 0

Dx Dy 1

Перемножив, получим: [X + Dx, Y + Dy, 1].

Масштабирование:

P` = P·S; где

Поворот:

Рё = Р·R; где