Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов , , , , , отличен от нуля.

Эллипсоид a, b, c — полуоси
Свойства эллипсоида. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что Эллипсоид обладает центральной симметрией относительно начала координат, осевой симметрией относительно координатных осей, плоскостной симметрией относительно начала координат. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.
Сфера (частный случай эллипсоида)
Однополостный гиперболоид c — действительная полуось, a и b — мнимые полуоси
Свойства однополостного гиперболоида. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число. Однополостной гиперболоид обладает центральной симметрией относительно начала координат, осевой симметрией относительно всех координатных осей, плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.
Двуполостный гиперболоид c — действительная полуось, a и b — мнимые полуоси
Свойства двуполостного гиперболоида. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что и неограничен сверху. Двуполостный гиперболоид обладает центральной симметрией относительно начала координат, осевой симметрией относительно всех координатных осей, плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.
Конус Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат
Эллиптический параболоид
Свойства эллиптического параболоида. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения. Эллиптический параболоид обладает осевой симметрией относительно оси Oz, плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.
Гиперболический параболоид
Свойства гиперболического параболоида. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число. Гиперболический параболоид обладает осевой симметрией относительно оси Oz, плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.
Эллиптический цилиндр a и b — полуоси
Гиперболический цилиндр
Параболический цилиндр p — фокальный параметр