Расстояние от точки до плоскости

Предложение 11.1 Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

(11.7)

Доказательство. Расстояние от точки до плоскости -- это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость (рис. 11.9).

Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости

Вектор и нормальный вектор n плоскости параллельны, то есть угол между ними равен 0 или , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому

Откуда

(11.8)

Координаты точки , которые нам неизвестны, обозначим . Тогда . Так как , то . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

(11.9)

Точка лежит на плоскости , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда находим, что . Подставив полученный результат в формулу (11.9), получим . Так как , то из формулы (11.8) следует формула (11.7).

Найти расстояние между параллельными плоскостями 5 x + 3 y - 4 z + 15 = 0; 15 x + 9 y - 12 z - 5 = 0.

Решение.

Возьмем на какой-нибудь из этих плоскостей произвольную точку. Например, на первой плоскости возьмем точку, для которой y = 0; z = 0, и определим абсциссу x этой точки. Получим 5 x + 3*0 - 4*0 + 15 =0; x = -3. Итак, на первой плоскости взята точка (-3, 0, 0). Определив ее расстояние до второй плоскости по формуле

получим

Найденное расстояние d и будет расстоянием между данными плоскостями.