Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение

Прежде чем дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми, напомним определение скрещивающихся прямых и докажем теорему, связанную со скрещивающимися прямыми.

В разделе взаимное расположение прямых в пространстве мы упоминали, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема.

Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая.

Доказательство.

Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b. Докажем, что через прямую b проходит единственная плоскость, параллельная прямой a (абсолютно аналогично можно будет доказать, что через прямую a проходит плоскость, параллельная прямой b, притом только одна). Это будет служить доказательством теоремы.

Отметим на прямой b некоторую точку Q. В статье параллельные прямые, параллельность прямых была доказана теорема, гласящая, что через произвольную точку пространстве проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Следовательно, через точку Q можно провести единственную прямую, параллельную прямой a. Обозначим ее a₁.

В разделе способы задания плоскости мы упоминали, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость (что следует из аксиомы о плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой). Следовательно, через пересекающиеся прямые b и a₁ проходит единственная плоскость. Обозначим ее .

Признак параллельности прямой и плоскости позволяет утверждать, что прямая a параллельна плоскости (так как прямая a параллельна прямой a₁, лежащей в плоскости ).

Единственность плоскости следует из единственности прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.

Теперь можно переходить непосредственно к определению расстояния между скрещивающимися прямыми. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми дается через расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую.

В свою очередь расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью есть расстояние от некоторой точки прямой до плоскости. Тогда справедлива следующая формулировка определения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b. Отметим на прямой a некоторую точку М₁, через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a, и из точки М₁ опустим перпендикуляр М₁H₁ на плоскость . Длина перпендикуляра M₁H₁ есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.

К началу страницы