Метод вузлових потенціалів

Потенціал являє собою відносну величину і визначається залеж­но від вибору вихідної точки відліку, тому один з вузлів кола можна взяти за базисний і задати його потенціал будь-яким числом (як правило, його задають таким, що дорівнює нулю). У цьому разі потенціали інших вузлів однозначно розраховують за рівняннями. За знайденими потенціалами вузлів і заданими параметрами віток визначають струми в усіх вітках за другим законом Кірхгофа чи за законом Ома.

Кількість незалежних рівнянь, складених за методом вузлових потенціалів, буде (n —кількість вузлів у схемі).

Задамо довільним числом потенціал вузла n схеми (зручно ) і складемо () рівняння, потрібне для визна­чення потенціалів інших вузлів:

(2.1)

В загальному випадку g_kk — власна провідність k -го вузла, тобто сума провідностей усіх віток, що сходяться у k -му вузлі; g_km — сума провідностей усіх віток, які безпосередньо з’єднують вузли k і m, взятої зі знаком мінус. Якщо між будь-якими двома вузлами вітка відсутня, то відповідна провідність дорівнює нулю. У формуванні вузлового струму k -го вузла приймають участь ті вітки, що сходяться у вузлі, які містять джерела ЕРС і (або) струму. Якщо ЕРС p- вітки напрямлена до k -го вузла, то її внесок у формуванні вузлового струму дорівнює , а якщо ця ЕРС напрямлена від k -вузла, то її внесок у вузловий струм складає . Якщо до k -вузла підтікає струм від джерела струму, то він повинен бути введений до складу вузлового струму зі знаком плюс, якщо цей струм напрямлений від k -вузла, то він повинен входити до складу вузлового струму зі знаком мінус. Після розв’язку системи (2.1) відносно потенціалів вузлів, визначають струми у вітках за законом Ома для ділянки кола, що містить ЕРС.

Якщо в колі є вітки з ідеальними джерелами напруги, як базис доцільно вибрати вузол, до якого підходить максимальна кількість віток з ідеальними джерелами напруги. Потенціали вузлів, зв’язаних з базисною віткою при ідеальному джерелі напруги, визначаються за ЕРС джерел і є заданими. Рівняння складають лише для тих вуз­лів, потенціали яких залишаються невідомими.

Вітки з ідеальними джерелами напруги можна не приєднувати до базисного вузла. В цьому разі відомо різницю потенціалів на затискачах такої вітки, але потенціали затискачів вітки відносно базисного вузла залишаються невідомими, і необхідно складати рів­няння для так званих узагальнених вузлів. Під узагальненим вуз­лом треба розуміти будь-яку частину кола, охоплену замкненим контуром (для планарного кола) чи замкненою поверхнею (для непланарного кола). Вітку з ідеальним джерелом напруги можна охопити замкненим контуром (чи поверхнею)і розглядати як узагальнений вузол відносно всіх зовнішніх віток. Для узагальненого вузла, як і для звичайного, справедливий І-й закон Кірхгофа.

Якщо всі точки зовнішніх віток виразити через потенціали вузлів і підставити їх у рівняння І-го закону Кірхгофа, дістанемо відсутнє рівняння вузла. За своїм складом воно відрізняється від звичайного вузлового рівняння (2.1):

де φ_a і φ_b — потенціали внутрішніх вузлів, тобто вузлів, охоплених замкненим контуром (чи поверхнею) (фактично це потенціали затискачів ідеального джерела напруги); g_aa, g_bb — сума провідностей віток, які перерізані на непарну кількість разів замк­неним контуром (чи поверхнею), що підходить до відповідного внут­рішнього вузла; φ ₁, φ ₂,..., φ_k — потенціали зовнішніх вузлів, розміщених за краями замкненого контуру (чи поверхні); g_{ab , k} — сума провідностей віток, що з’єднують k -й вузол з узагальненим вузлом; I_ab — вузловий струм узагальненого вузла, тобто алгебраїчна сума струмів еквівалентних джерел струмів, зв’язаних з узагальненим вузлом.