Техника дифференцирования различных функций. Производные высших порядков

ПЛАН

1. Правила дифференцирования арифметических действий.

2. Производная сложной функции.

3. Дифференциал сложной функции.

4. Производная показательно-степенной функции. Логарифмическое дифференцирование.

5. Дифференцирование функций, заданных неявно.

6. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

7. Уравнение касательной и нормали к кривой в заданной точке.

8. Производные высших порядков.

9. Дифференциалы высших порядков для функций, заданных таблично.

10. Заключение.

12.1. Правила дифференцирования арифметических действий

Прежде чем учиться дифференцировать любую функцию, вспомним правила, по которым можно находить производные суммы, разности, произведения и частного, которые вы проходили в школе.

Эти правила мы сформулируем в идее теорем, одну из которых докажем и выводы занесем в таблицу правил дифференцирования. Вместе с таблицей производных основных элементарных функций ее нужно выучить наизусть.

Столбец «Дифференциал» повторяет свойства производной. Его содержимое потребуется позднее, при интегрировании.

Итак, теоремы.

Теорема 12.1. Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой же точке дифференцируема и их алгебраическая сумма, причем производная суммы определяется по формуле.

. (12.1)

Теорема 12.2. Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой же точке дифференцируема и их произведение, причем производная произведения определяется по формуле:

. (12.2)

Теорема 12.3. Если функции и дифференцируемы в точке , причем , то в этой же точке дифференцируемо и их частное. Производная частного определяется по формуле:

. (12.3)

Часто вместо этих формулировок можно слышать словесные описания формул, стоящих в правой части равенств (12.1-3), например: производная суммы равна сумме производных и т.д., которые были бы верны, если бы не было «подводных корней», о которых мы говорили в лекции 11: одна из функций или могут быть просто не дифференцируемы в точке . Для этого и нужны полные формулировки данных теорем, потому что они исключают все возможные нападки.

В таблицу правил входят два следствия из теоремы 2: 2а и 2б. Следствие 2а в короткой формулировке будет читаться так: если функция дифференцируема в точке , то постоянный множитель можно вынести за знак производной, т. е.

. (12.4)

Таблица правил дифференцирования основных арифметических действий.

Производная	Дифференциал
1. ,	1. ,
2. ,	2. ,
2а. , где ,	2а. , где ,
2б. ,	2б. ,
3. ,	3. .

Докажем формулу 3, как наименее очевидную. Следуем строго по определению производной:

.

Пусть и дифференцируемы в точке х. Дадим приращение , тогда функции тоже получат приращение

Для частного общее приращение найдется из соотношения

.

Составим отношение и перейдем к пределу при :

,

.

Для дальнейших вычислений в числителе этой дроби добавим и отнимем выражение . Дробь при этом не изменится

что и требовалось доказать.

При вычислении производных, особенно на первых этапах, следует сначала выделять главное действие и к нему подбирать правило, а потом применять соответствующие формулы из таблицы производных.

Пример 12.1. Вычислить производные следующих функций:

а) .

Здесь главное действие – сумма, поэтому

.

Постоянные вынесем за знаки производных, к каждому слагаемому применим формулу 2 из таблицы производных, получим:

.

б) .

Здесь тоже главное действие сумма, но второе слагаемое представляет собой частное, а третье – произведение. Учтя эти обстоятельства, имеем:

в) .

Здесь главное действие – частное, у которого в числителе разность произведений. Аккуратно следуем за правилами.

г) .

Воспользуемся формулой 2б (тройное произведение), причем последний множитель – дробь.

Пример 12.2. Вычислить дифференциалы функций.

а) – сумма, у которой последнее слагаемое – произведение. Для удобства последующих вычислений вспомним, что и будем сразу вычислять производные, поставив сомножитель в конце выражения. Вот так:

.

б)

Находим

На какие выводы наталкивают рассмотренные примеры?

1. Нужно правильно выделять главное действие;

2. нужно хорошо знать таблицы правил и формул дифференцирования;

3. четко следовать всем инструкциям.

И тогда самые трудные примеры будут решаться просто. Но жизнь – штука сложная, поэтому перейдем к технике дифференцирования сложных, неявных и степенно-показательных функций.

12.2. Производная сложной функции

Определение 12.3. Величина называется функцией от функции (или сложной функцией), если она является функцией от вспомогательной переменной , которая в свою очередь зависит от переменной , то есть , , тогда .

Например: , здесь – промежуточный аргумент.

Часто промежуточных аргументов бывает несколько, поэтому перед взятием производной следует хорошо представить себе все промежуточные функции и их аргументы – то есть ясно увидеть цепочку сложности.

Например: . Рассмотрим всю серию промежуточных аргументов и функций, которые имеет данное выражение. Поскольку все начинается с , то цепочку сложности запишем в следующем порядке:

.

I звено: функция сумма, аргумент – ,

II звено: функция – , аргумент – ,

III звено: функция – , аргумент – ,

IV звено: функция – степень (квадрат), аргумент ,

то есть то, что раньше было функцией, в последующем звене становиться аргументом.

Если , то ее цепочка выглядит так:

.

Умение расписывать эти цепочки становиться особенное актуальным, если учесть следующую теорему о производной сложной функции.

Теорема 12.4. Пусть и , причем в некоторой точке x существует производная и в соответствующей точке . Тогда сложная функция в данной точке имеет производную , которая находится по следующей формуле:

, (12.1)

или в менее точной, но в более короткой формулировке: производная сложной функции равна произведению всех промежуточных функций по промежуточным аргументам, по всем звеньям цепочки сложности.

Доказательство проведем исходя из определения производной на языке приращений.

Дадим приращение . Тогда и , т. е. u и y получат приращения и , причем в силу дифференцируемости и будут сравнимы с и если , то и , .

Запишем очевидное равенство:

. (12.2)

Перейдем к пределу при :

,

где , и . Поэтому .

Что и требовалось доказать.

Понятно, что эта теорема будет верной и для нескольких звеньев промежуточных функций.

Пример 12.3. . Найти .

Решение. Используем формулу (12.1) этого пункта и разобранную выше цепочку сложности. Имеем:

Пример 12.4. Найти производную функции .