Предел функции при слева, справа, двусторонний предел

Определение 9.3. Число b называется пределом функции при слева (), если для любого положительного числа найдется такое число N (меньшее а), что для всех х, таких что , выполняется неравенство .

Геометрически это означает следующее: ординаты точек графика попадут в полосу, ограниченную прямыми у = b – и у = b + , как только x станет больше, чем N, но меньше a (рис. 9.5).

Символическая запись левостороннего предела функции выглядит так:

.

Рис. 9.5 Рис. 9.6

Определение 9.4. Число b называется пределом функции при справа (), если для любого положительного числа найдется такое число M, что для всех х, таких что выполняется неравенство .

Геометрическая интерпретация остается прежней: точки графика функции попадут в полосу, ограниченную прямыми у = b – и у = b + , для всех х, заключенных между a и М (рис. 9.6).

Символическая запись правостороннего предела функции выглядит так:

.

Пределы функции при слева и справа называются односторонними пределами. Мы с ними встретимся, когда будем проходить тему «Непрерывность функции в точке».

Если оба односторонних предела существуют и равны между собой, то говорят, что функция имеет предел при . Определение предела функции в точке звучит так.

Определение 9.5. Число b называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется такое число , что для всех х, таких что , будет выполняться неравенство .

Покажем некоторые логические символы, которые можно применять для более краткой записи этих определений.

Символ означает «для всех», «для каждого», «какого бы ни было». Например, запись означает «для любого х > 0».

Символ х означает «существует такое х» или «можно найти такое х». Запись означает «существует такое положительное число х».

Символ принадлежности : х . Символы логического следствия .Знак логической равносильности . Их вы знаете из школы.

Запись означает: каково бы ни было число , существует такое число , что для любого имеет место неравенство .

Можно доказать, что если функция имеет предел, то он единственный.

9.3. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции

Введем новый класс функций, имеющих большое значение в математическом анализе – бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Определение 9.6. Функция называется бесконечно малой при , если .

Примерами бесконечно малых функций при являются функции , и другие.

Аналогично можно ввести определение бесконечно малой величины при или . Например, функции , являются бесконечно малыми при . Функции , являются бесконечно малыми при .

Определение 9.7. Функция называется ограниченной на некотором множестве М значений аргумента х, если существует такое положительное число С, что для всех выполняется неравенство .

Понятие бесконечно малой и ограниченной функции только на первый взгляд кажутся похожими. Например, функция при не имеет предела, она ограничена сверху числом и снизу .

Дадим несколько утверждений, касающихся действий над бесконечно малыми величинами. Их доказательство можно найти в учебниках. Все утверждения дадим в предположении, что х , так как в остальных случаях формулировки будут аналогичными.

Утверждение 1. Сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

(А бесконечного числа бесконечно малых величин?)

Утверждение 2. Произведение бесконечно малой величины на число k есть величина бесконечно малая.

Утверждение 3. Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.

Утверждение 4. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть функция бесконечно малая.

Прежде, чем давать определение частного двух бесконечных величин, введем понятие бесконечно больших величин.

9.4. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Определение 9.8. Функция называется бесконечно большой при или , если ее предел равен – или + .

Примерами бесконечно большой функции при являются функции , .

Функции , являются бесконечно большими при и соответственно, а – бесконечно большая при .

Утверждения 1-4 остаются в силе и для бесконечно больших величин.

Введем еще два утверждения.

Утверждение 5. Величина, обратная бесконечно большой, есть величина бесконечно малая.

Утверждение 6. Величина, обратная бесконечно малой, есть величина бесконечно большая.

Бесконечно малые величины будем обозначать a₁, a₂ или б.м.в., бесконечно большие – b₁, b₂ или б.б.в.

Следующие примеры являются гимнастикой для ума.

Пример 9.2. Будет ли величина, равная +7 бесконечно малой?

Решение. Нет, т.к. сумма первых трех слагаемых будет бесконечно малой величиной, стремящейся к нулю, но последнее слагаемое 7 – постоянное число, поэтому общая сумма будет равна 7.

Пример 9.3. Будет ли величина величиной б.б.в? Или б.м.в.?

Решение. Первое, третье и последнее слагаемые будут б.м.в., а второе и четвертое – бесконечно большими, причем понятно, что произведение б.б.в. больше одного из сомножителей. Поэтому вся величина есть бесконечно большая.

Итак, с суммой и произведением б.б.в. и б.м.в. понятно. И даже с разностью бесконечно малых величин – тоже, потому что из соображений здравого смысла можно ожидать, что разность двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. Но разность бесконечно больших величин уже не определяется так просто. Например, величина при будет б.б.в., б.м.в. или обычной величиной? Пока трудно сказать. Введем дополнительные определения, позволяющие сравнивать их по порядку великости, а бесконечно малые величины – по порядку малости.

Порядок малости и великости величины x определяется положительной степенью, в которую она возводится.

Например, x ³ имеет третий порядок малости при x →0, а – бесконечно большая величина второго порядка великости при x →∞.

9.5. Сравнение бесконечно малых функций

Определение 9.9. Две бесконечно малые функции и в окрестности точки a называются эквивалентными, если предел их отношения при равен 1:

.

Например, функции и будут эквивалентными б.м.в. при , потому что будет эквивалентен , т.к. .

Определение 9.10. Две бесконечно малые функции и называются б.м.в. одного порядка малости, если предел их отношения равен числу,не равного нулю:

.

Например, х и 3 х при будут одного порядка малости, т.к. .

Определение 9.11. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем , если предел их отношения равен нулю:

.

Функция будет иметь третий порядок малости относительно x, а х – первый при , поэтому предел их отношения будет равен нулю, т.е. является б.м.в. более высокого порядка малости, чем x:

.

Определение 9.12. Функция называется бесконечно малой более низкого порядка малости чем , если предел их отношения равен :

.

Функция х будет иметь первый порядок малости при , а – пятый, поэтому предел их отношения будет равен бесконечности:

.

Сравнение бесконечно больших функций вводится аналогично.

Определение 9.13. Две бесконечно большие функции и в окрестности точки a называются эквивалентными, если предел их отношения при равен 1:

.

Например, функции и будут эквивалентными при , так как их отношение будет равно единице. Действительно, , потому что второе слагаемое есть величина бесконечно малая.

Определение 9.14. Две бесконечно большие функции и называются б.б.в. одного порядка великости, если предел их отношения равен числу, не равного нулю:

.

Так, функции и будут одного порядка великости, т.к. .

Определение 9.15. Функция называется б.б.в. более высокого порядка великости, чем , если предел их отношения равен :

.

Например, , то является б.б.в. более высокого порядка великости, чем 4 x.

Определение 9.16. Функция называется б.б.в. более низкого порядка великости чем , если предел их отношения равен нулю:

.

Функции и будут отвечать этому условию при , потому что степень первой функции равна единице, а второй – двум. Предел их отношения . Следовательно, 2 x – б.б.в. более низкого порядка великости, чем .

Зная определение бесконечно малой величины, введем новое определение предела функции, которое поможет нам сформулировать основные теоремы о пределах.

Определение 9.17. Если функцию при стремлении (или к любому другому пределу) можно представить в виде суммы числа b и бесконечно малой величины , то число b называется пределом функции f(x) при , т.е. .

В этом определении роль наперед заданной величины из первого определения играет . Она может быть больше нуля, и тогда функция будет стремиться к своему пределу, оставаясь больше него, т.е. сверху (см. рис. 9.6а). Если , то функция стремится к числу b снизу, оставаясь меньше него (см. рис. 9.6б).

Последнее определение позволяет заменять выражение, стоящее под знаком предела, его предельным значением, т.е. вместо x подставлять его предел. Например, .

Этоже определение позволяет сформулировать и доказать основные теоремы о пределах.

9.6. Основные теоремы о пределах

Если существуют пределы , , то:

1. , или предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций.

2. , или предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.

3. , или предел постоянной величины равен самой постоянной.

4. , или постоянную величину можно выносить за знак предела.

5. , или предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел знаменателя отличен от нуля.

6. , или предел степени равен степени предела.

Доказательство этих теорем предлагаем провести самостоятельно, основываясь на втором определении предела и учитывая, что предел бесконечно малой величины равен нулю.

Пример 9.4. Вычислить пределы функций:

, .

К сожалению, эти теоремы мало помогают, если выражение, стоящее под знаком предела стремится к бесконечности или нулю, и в результате получаем неопределенности типа , , . Рассмотрим технику вычисления подобных примеров. Ее называют техникой раскрытия неопределенностей.

9.7. Техника раскрытия неопределенностей типа

При раскрытии неопределенностей первых двух типов полезно знать следующие теоремы, доказательства которых основываются на свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Теорема 9.1. Сумма конечного числа бесконечно больших функций различных порядков эквивалентна слагаемому наибольшей степени великости.

Теорема 9.2. Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому наименьшей степени малости.

О чем говорят эти теоремы? Нужно выбирать наибольшие слагаемые, а остальные можно отбросить.

Докажем первую теорему.

Рассмотрим предел суммы бесконечно больших величин при . Вынесем член с наибольшей степенью за скобки. Тогда все остальные разделятся на него, и из бесконечно больших превратятся в бесконечно малые. Их предел равен нулю. Под знаком предела останется только член, который мы первоначально вынесли, что и требовалось доказать. Например,

.