Дифференциал функции. Приложение к приближенным вычислениям

Рассмотрим функцию , непрерывную и дифференцируемую на отрезке . Ее график представлен на рис. 11.11. Возьмем произвольную точку . Отрезок равен сумме двух отрезков и , причем - это приращение всей функции, а это приращение касательной M ₀ T. Из , если .

Величина , представляющая главную часть приращения , линейная относительно , называется дифференциалом функции и обозначается , то есть

.

Тогда

, (11.9)

где – величина более высокого порядка малости, чем .

Если положить , т. е. считать, что дифференциал независимой переменной равен ее приращению, то выражение для дифференциала функции запишется в следующей форме:

, или . (11.10)

Таким образом, производная функции равна отношению ее дифференциала к дифференциалу независимой переменной .

Часто отношение дифференциалов рассматривается как символ производной. Именно так его изобразил Лейбниц.

Более детальное рассмотрение темы «Дифференциал» можно найти в рекомендуемой литературе. Укажем лишь практическое применение дифференциала для приближенных вычислений. Воспользуемся формулой (11.9). Отбросим бесконечно малую величину , тогда получим

. (11.11)

Так как и , то

. (11.12)

Эту формулу используют для приближенного вычисления.

Пример 11.3. Оценить значение .

Решение. Полагая , найдем

.

Тогда

.

В качестве x ₀ возьмем число, близкое к 16,64, но чтобы был известен , при этом D x должен быть достаточно мал. Очевидно, что следует взять и (но, например, не и ). Анализ показывает, что точность формулы (11.12) зависит от : чем больше , тем ниже точность. Итак,

.

Отметим, что формула (11.12) обычно используется для достаточно грубых оценок, более точные результаты можно получить при помощи степенных рядов, о которых можно прочитать в приведенной литературе.

В настоящее время подобные расчеты никто делать не будет, если под рукой имеется хороший калькулятор, позволяющий вычислять корни любых степеней. В нашем случае калькулятор выдает следующий результат:

Более актуальной является задача об оценке приближенных вычислений. Это связано с тем, что мы, как правило, имеет дело только данными, значения которых известны с некоторой погрешностью. Используя эти данные, мы вычисляем какие-либо показатели или характеристики, но они тоже будут вычислены с некоторой погрешностью. Какой? Вот здесь нам и пригодится формула (11.11). Проиллюстрируем это на простом примере.

Пример 11.4. Пусть имеется квадратный участок со стороной м. Абсолютная погрешность измерения стороны квадрата составила м. Какова абсолютная погрешность вычисления площади участка?

Решение. Вы помните, что площадь квадрата равна

м².

Для оценки погрешности вычислений воспользуемся формулой (11.11):

м².

Ответ запишем следующим образом:

.

11.11. Заключение

Итак, сделаем первые выводы по определению производной:

1. Производная функции – это новая функция , вычисленная по особым правилам .

2. Производная применяется для физической и геометрической характеристики изменения функции: с одной стороны она указывает на скорость, а с другой – на угол наклона касательной: чем больше скорость и тангенс угла наклона – тем сильнее будет изменяться функция.

3. С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции , как главной части приращения, линейного относительно, , где , откуда .

Для того чтобы найти производную – нужно найти предел отношения приращения дифференциалов . Для того, чтобы найти дифференциал – нужно найти производную и умножить ее на дифференциал независимой переменной .

Дифференциалы используются для приближенных вычислений по формуле:

4. Что нового вы еще узнали?

На следующей лекции перейдем непосредственно к технике дифференцирования и взятия производной.