Процесс чистого размножения

Система дифференциальных уравнений, полученная в предыдущем параграфе, имеет биологическое приложение для описания процессов размножения и гибели элементов популяции организмов. Если параметр , то такому случаю соответствует факт отсутствия обслуживания требований, то есть процесс чистого размножения. В этом случае система дифференциальных уравнений приобретает следующий вид и легко решается:

Система решается рекуррентной процедурой, начиная с нулевого неизвестного. Вероятность "опустошенности" определяется непосредственно из второго уравнения приведенной выше системы уравнений и имеет вид:

- что проверяется непосредственной подстановкой в уравнение. Далее можно получить вероятность нахождения в системе только одного требования из уравнения, полученного подстановкой в следующее уравнение значения вероятности опустошенности системы: . Решение этого уравнения имеет вид: .

Общее решение системы является распределением Пуассона и имеет следующий вид: . -математическое ожидание, -дисперсия распределения Пуассона.

Пуассоновский процесс - это процесс, для которого время появления требований с интенсивностью в интервале времени (0 - t) подчинена закону Пуассона.

Распределение Пуассона хорошо моделирует естественные и производственные процессы, вызовы на телефонные станции, интенсивность потоков в цепях.

11.СИСТЕМА M/M/1 В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

Система M/M/1 имеет в своем составе один обслуживающий прибор, а накопитель очереди и мощность нагрузки не имеют ограничений. Из этого следует, что данная система имеет бесконечное число возможных состояний. Величины временных интервалов между требованиями и длительности обслуживания имеют экспоненциальное распределение. Для упрощения соотношений с целью получения свернутых аналитических выражений обычно полагают: . Соответствующая диаграмма состояний системы приведена на рис.9.

Рис.9. Диаграмма состояний системы M/M/1.

Система дифференциальных уравнений для данной СМО имеет вид:

.

Система решается методом производящих функций. Система имеет точное аналитическое решение, выражающееся через функции Бесселя:

где -интенсивность нагрузки, .

Полученное выражение позволяет анализировать воздействие на СМО различных возмущений, в том числе особенности протекания переходных процессов.