Задача 2. Имеются следующие данные о распределении студентов нашего техникума по среднему баллу успеваемости в результате выборочного 26%-ного собственно-случайного

Имеются следующие данные о распределении студентов нашего техникума по среднему баллу успеваемости в результате выборочного 26%-ного собственно-случайного бесповторного отбора:

Группы студентов по успеваемости, баллы	до 3,2	3,2 – 3,6	3,6 – 4,0	4,0 – 4,4	4,4 и более
Количество студентов, чел.

Определить:

1. доверительный интервал, в котором с вероятностью 0, 874 находится средний балл успеваемости студентов;

2. доверительный интервал, в котором лежит доля студентов с баллом успеваемости 3,6 и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,758.

Решение:

1. Прежде чем начать конкретный расчет в данной задаче необходимо написать все формулы, которые нам потребуются для решения по порядку.

Нам необходимо рассчитать доверительный интервал для среднего значения признака:

Для того, чтобы определить данный интервал необходимо знать среднее значение признака и предельную ошибку . Их определяют по формулам:

.

Чтобы узнать предельную ошибку необходимо рассчитать среднюю ошибку, которая в данном случае при собственно-случайном бесповторном отборе будет определяться по следующей формуле:

.

Прежде чем рассчитать среднюю ошибку выборки нужно определить дисперсию:

Теперь можно оформлять решение. Для простоты можно оформить решение в таблице, которая является аналогом той, которая составлялась ранее при расчете показателей вариации:

Таблица 40

Исходные и расчетные данные

Т.к. вероятность Р=0,874, то по таблице Лапласа (см.приложение) можно определить t. В нашей задаче t=1,53. Теперь можно определить предельную ошибку выборки и построить доверительный интервал:

По данным расчетам видно, что размер расхождений между величиной среднего балла успеваемости студентов, полученного в выборочной совокупности и генеральной в условиях одинаковой точности единичных наблюдений составляет ± 0,02 балла. Т.е. генеральная средняя находится в доверительном интервале [3,9; 4,0].

2.Для определения доверительного интервала, в котором лежит доля студентов с баллом успеваемости 3,6 и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,758, необходимо воспользоваться следующими формулами.

Прежде всего, нам изначально нужно определить доверительный интервал для доли:

Для того, чтобы определить доверительный интервал необходимо определить выборочную долю w и предельную ошибку доли .

Для определения доли необходимо выбрать те частоты, у которых средний балл свыше 3,6:

.

Предельная ошибка выборки для доли определяется по формуле:

,

Для того чтобы рассчитать предельную ошибку теперь необходимо определить среднюю ошибку для доли:

По таблице Лапласа при помощи заданной вероятности Р=0,758 можно определить коэффициент кратности t, он будет равен 1,17.

Теперь преступим к конкретным расчетам:

По данным расчетам видно, что размер расхождений между долей студентов со средним баллом успеваемости 3,6 и выше, полученного в выборочной совокупности и генеральной в условиях одинаковой точности единичных наблюдений составляет ± 1,5%. Т.е. генеральная доля находится в доверительном интервале [72,5; 75,5].

Контрольные вопросы по теме