Визуальное представление скалярных и векторных полей. При построении картины поля на плоскости внимание акцентируется на следующих положениях: 1) касательная к линии поля совпадает по направлению с вектором

При построении картины поля на плоскости внимание акцентируется на следующих положениях: 1) касательная к линии поля совпадает по направлению с вектором напряженности
(по определению); 2) густота линий является мерой величины поля;
3) линии поля не пересекаются, начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах или в бесконечности.

Из трех приведенных положений полностью правильным является, по-видимому, только первое. Густота линий может характеризовать величину поля при его плоском изображении только для двумерных полей бесконечно протяженных объектов (нитей, цилиндров и т. д.). Всякое же изображение на плоскости трехмерного поля приводит к искажению реальной густоты линий, соответствующей правилу потока и электростатической теореме Гаусса.

Попробуйте ответить на вопрос, как должна выглядеть картина поля двух одноименных зарядов, если один из них меньше другого в два раза? Предположение о том, что на плоской картинке со второго заряда должно стартовать в два раза меньше линий, является ошибочным.

Что касается третьего положения, следует заметить, что часть линий поля может обрываться в точках, где . На рис.7 изображена картина поля четырех одноименных зарядов, на которой кроме перечисленных “парадоксов” (сгущение и обрыв линий в центре) видна еще одна странность – кажущееся сгущение поля на осях симметрии.

Все это позволяет сделать вывод о том, что адекватное изображение трехмерного поля с помощью плоского изображения невозможно.

Рис.7

Помимо чисто учебных целей картинки поля играют важную роль в научных исследованиях и в проектировании технических устройств. Анализ картины поля не только развивает интуицию, но и часто позволяет найти неожиданное техническое решение. Всевозможные ондуляторы и другие устройства, используемые в ускорителях частиц, намагничивающие устройства, линейные двигатели, высоковольтные устройства требуют для своего проектирования тщательного анализа картины поля.Кроме того, визуализация результатов часто позволяет найти ошибки, допущенные при разработке алгоритма или при его программировании.

Для построения картины поля и эквипотенциальных поверхностей существуют два принципиально различных подхода.

Идея первого метода очень проста и давно известна. Для построения линии поля, проходящей через заданную точку старта необходимо осуществить последовательные достаточно малые шаги вдоль направления напряженности поля, для построения эквипотенциалей необходимо двигаться перпендикулярно полю.

Идея второго метода также не нова и заключается в отслеживании выполнения правила потока. Для построения эквипотенциальных поверхностей согласно второй методике необходимо разбить рассматриваемую область на ячейки и соединять отрезками точки на границе ячейки, в которых потенциал принимает заданное значение.

Рассмотрим численную реализацию алгоритмов построения линий поля и эквипотенциалей.

В качестве примера выбрано электростатическое поле, создаваемое конечным числом точечных зарядов, и поле равномерно заряженного отрезка, однако данная методика пригодна для любого аналитически вычисляемого векторного поля.

В дальнейшем будем считать компоненты поля , заданными.

1.Построение линий поля. Сущность численного алгоритма заключается в следующем. Линии поля изображаются ломаными прямыми. Шаг величиной из точки 1 в точку 2 осуществляется вдоль направления поля, вычисленного в точке 1, рис.8.

Рис.8

Пересчет координат производится на основании подобия треугольников по схеме .

При попытке построения универсальной программы для построения линий поля возникают дополнительные вопросы:
1) как выбрать число линий, исходящих из зарядов;
2) где выбирать точки старта линий;
3) что делать с линиями, уходящими за пределы области;
4) где останавливать линии;
5) как избежать “зацикливания” в области, где поле обращается в ноль.

Предлагаем свой вариант ответа на эти вопросы.
Число линий для трехмерного поля в соответствии с правилом потока (теоремой Гаусса) должно быть пропорционально величине заряда, плоское изображение будет более или менее реалистичным, если число линий выбирать пропорциональным , линии должны при этом стартовать только с положительных зарядов. Попытка добавочного старта с отрицательных ” зарядов (в обратную сторону) для компенсации “потерянных в дальней зоне линий приводит к искажению густоты линий.

Старт линий можно осуществлять с окружностей, центры которых совпадают с зарядами (очевидно нельзя стартовать с самих зарядов).

Величина шага задается заранее и в видимой области не изменяется, при выходе линии в дальнюю зону величина шага может быть увеличена, например, пропорционально расстоянию до центра системы, направление шага всегда совпадает с направлением поля.

Линию обрываем в следующих случаях: а) точка приблизилась на расстояние к отрицательному заряду, б) точка "убежала" на бесконечность, в) поле E "очень мало", г) произошло "зацикливание" – перескакивание с линии на линию около точки E=0.

Рис.9

На рис.9 представлено компьютерное изображение поля двух разноименных зарядов, построенное намеренно грубо, шаг , (расстояние между зарядами выбрано за единицу), число линий, стартующих с положительного заряда, выбрано равным 20. Обратите внимание на дефект – “выгрызен” сектор справа от отрицательного заряда за счет того, что граница дальней зоны взята слишком близко. Кроме того, линии “некрасиво” заканчиваются.

Все эти недостатки легко можно исправить, если уменьшить величину шага и увеличить дальнюю зону, на границе с которой линии обрываются.

Н а следующем рис.10 представлена более качественная картина поля для двух одноименных зарядов.

Рис.10

Здесь шаг выбран равным . В центре кружком отмечена точка, в которой поле обращается в ноль и возможно зацикливание программы. Резкое уплотнение линий на вертикальной оси связано с проблемой плоского изображения трехмерного поля, что подтверждается изображенной на рис.11 картиной поля двух одноименно заряженных бесконечных нитей (здесь сгущения нет).