Функції корисності

Для порівняння різних альтернатив і вибору найкращої з них також можна використовувати деяку кількісну міру властивостей, за значеннями якої можна порівняти альтернативи між собою і вибрати найкращу. Така міра носить назву функція корисності. Правила (процедури) прийняття рішень на її основі використовують теорію корисності, розроблену Дж. Фон Нейманом і О. Моргенштерном. Її математична основа – система аксіом, в яких стверджується, що існує деяка міра цінності, що дозволяє упорядкувати альтернативи (результати рішень) і яка називається функцією корисності, або корисністю результатів.

Практичне застосування теорії корисності ґрунтується на таких аксіомах.

1. Результат (альтернатива) х_і є кращою за альтернативу х_j (записується x_i > x_j), тоді і тільки тоді, коли u (x_i) = f (x_i) > u (x_j), де u (x_i) і u (x_j) корисності альтернатив x_i і x_j відповідно.

2. Транзитивність:якщо x_i > x_j, а x_j > x_k, то x_i > x_k, і u (x_i) > u (x_k).

3. Лінійність: якщо х ₁, х ₂деякі альтернативи, то властивість адитивності функції u (x ₁, x ₂) записується як u (x ₁, x ₂) = u (x ₁) + u (x ₂).

Аналогічно, якщо є n результатів x ₁, x ₂, … x_n, які досягаються одночасно, то

.

Визначимо в термінах функції корисності (цільовій функції) f (x) такі відношення на множині альтернатив Х: відношення слабої (нестрогої) переваги – «не гірше», яке позначається знаком ≥, відношення рівноцінності, що позначається знаком ~, і відношення строгої переваги, що позначається знаком >.

Для двох альтернатив х ₁, х ₂ говоритимемо, що

х ₁ ≥ х ₂, тоді і лише тоді, коли f (x ₁) ≥ f (x ₂);

x ₁ ~ x ₂, тоді і лише тоді, коли f (x ₁) = f (x ₂);

x ₁ > x ₂, тоді і лише тоді, коли f (x ₁) > f (x ₂).

Знаки ≥ і < при порівнянні значень цільових функція для різних альтернатив беруться залежно від того, чи вважається кращою альтернатива при більшому або меншому значенні цільової функції.

Методика визначення корисності можливих результатів розроблена в [1].

Розглянемо декілька варіантів методики визначення корисності в різних ситуаціях.

I. Випадок, коли є тільки два результати. Відповідна методика визначення корисності така:

Визначаємо, який результат є кращим для особи, що приймає рішення. Нехай x ₁ > x ₂, тобто х ₁ краща ніж х ₂.

1. Потім визначаємо таку ймовірність α, при якій досягнення результату х ₁ буде еквівалентне х ₂, отриманому з ймовірністю 1.

2. Оцінюємо співвідношення між корисностями результатів х ₁ і х ₂. Для цього приймемо корисність u (x₂) = 1. Тоді αu (x₁) = u (x₂); u (x₁) = 1/ α.

II. Випадок коли наявні n можливих альтернатив х ₁, х ₂, … x_n між якими встановлено перевагу x ₁ > x ₂ > … > x_n.

Для цього випадку методика визначення корисності така:

1. Визначаємо величину α ₁ з умови α ₁ u (x ₁) = u (x ₂);

2. Аналогічно визначаємо:

α ₂ u (x ₂) = u (x ₃);

...............;

α_{n- 1} u (x_{n- 1}) = u (x_n).

3. Поклавши корисність найменш переважного результату рівною 1, знаходимо:

u (x_n) = 1;

u (x_{n- 1}) = 1/ α_{n- 1};

.............

u (x ₁) = .

III. Випадок, коли деякі критерії є якісними.

Застосовується методика, яка заснована на алгоритмі, що запропонований Р. Акофом і Р. Черчменом [1].

Припускатимемо, що наявні n альтернатив х ₁, х ₂, … x_n. Методика визначення корисності складається з наступних етапів:

1. Упорядковують всі альтернативи за зменшенням переваги. Нехай х ₁ – альтернатива, що має найбільшу перевагу, а х_n – альтернатива, перевага якої найменша.

2. Складають таблицю можливих комбінацій результатів, що досягаються одночасно, і тоді встановлюють їх перевагу щодо окремих результатів

х ₁, х ₂, … x_n (табл. 2.2).

Таблиця 2.2.

	x 1 або х 2 + х 3 + … + x n	n + 1	x 2 або х 3 + х 4 +… + xn -1
	x 1 або х 2 + х 3 +… + x n -1	n + 2	x 2 або х 3 + х 4 + …+ xn -2
	x 1 або х 2 + х 3 + … + x n -2	n + 3	x 2 або х 3 + х 4 + …+ xn -3
…	...	…	…
n	x 2 або х 3 + х 4 + … + xn	N	xn -2 або хn -1 + хn

Цю інформацію про перевагу результатів отримують від експертів.

3. Приписують початкові оцінки корисності окремих результатів u ₀(x ₁), u ₀(x ₂),..., u ₀(x_n). Потім початкові оцінки підставляють в останнє співвідношення табл. 2.2. Якщо воно задовольняється, то оцінки не змінюють.

В протилежному випадку, проводять корекцію корисності так, щоб задовольнялося дане співвідношення.

Після цього переходять до наступного співвідношення. Процес корекції продовжується до тих пір, поки не утворюється система оцінок u* (x ₁), u* (x ₂), … u* (x_n), яка задовольнятиме всім вказаним в таблиці співвідношенням. Корекцію слід проводити так, щоб по можливості змінювати оцінки для мінімальної кількості результатів.

П р и к л а д 2.18. Нехай експерт упорядковує п'ять результатів х ₁, х ₂, … х₅, приписавши їм такі оцінки: u ₀(x ₁) = 7; u ₀(x ₂) = 4; u ₀(x ₃) = 2; u ₀(x ₄) = 1,5; u ₀(x ₅) = 1.

Розглянувши можливі варіанти вибору, він висловив такі думки щодо цінності тих або інших комбінацій варіантів:

1) x ₁ < x ₂ + x ₃ +x ₄ + x ₅;

2) x ₁ < x ₂ + x ₃ +x ₄;

3) x ₁ > x ₂ + x ₃ + x ₅;

4) x ₁ < x ₂ + x ₃;

5) x ₂ > x ₃ + x ₄ + x ₅;

6) x ₂ > x ₃ + x ₄;

7) x ₃ > x ₄ + x ₅.

Потрібно провести оцінку корисності результатів так, щоб задовольнити всім нерівностям.

Підставляємо початкові оцінки в нерівність 7:

.

Отже, нерівність 7 не задовольняється.

Змінюємо корисність результату х ₃: u ₁(x ₃) = 3 і перевіряємо нерівність 6

.

Ця нерівність також не задовольняється.

Застосовуємо u ₁(x ₂) = 5. При цьому нерівність 5 задовольняється.

Звертаємося до нерівності 4:

u ₀(x ₁) = 7 < u ₁(x ₂) + u ₁(x ₃) = 8.

Вона не виконується.

Тому приймемо u ₁(x ₁) = 8,5. Тепер нерівності 3, 2, 1 задовольняються.

Перевіряємо ще раз нерівність 6 і 7 при змінених значеннях корисності альтернатив:

5 > 3 + 1,5,

і 3 > 1,5 + 1.

Обидві нерівності виконуються.

Випишемо остаточні оцінки корисності результатів:

u ₁(x ₁) = 8,5; u ₁(x ₂) = 5; u ₁(x ₃) = 3; u ₁(x ₄) = 1,5; u ₁(x ₅) = 1.

Таку методику визначення корисності можна застосовувати, коли кількість результатів n обмежена, а саме n < 6 або 7.

У випадках, коли n > 7, запропонований модифікований спосіб корекції оцінок [1].

Множину альтернатив розбивають на підмножини, що складаються з 5-7 альтернатив і мають один спільний результат, наприклад х ₁. Потім приписують початкові значення корисності для всіх альтернатив, причому корисність спільного результату х ₁ однакова у всіх підмножинах. Далі застосовують спосіб корекції оцінок корисності незалежно в кожній з підмножин з обмеженням u (x ₁) = const. В результаті отримують систему корисності з єдиною мірою для всіх підмножин u (x ₁).

Після того як, відповідно до описаної методики, функція корисності всіх альтернатив визначена, вирішальне правило вибору найкращої з них в умовах визначеності записується таким чином:

знайти такий х ₀, що f (x ₀) = max f (x)

Очевидно, що цільова функція, на підставі якої проводиться вибір шуканої альтернативи, може бути побудована різними способами. Цільові функції f ₁(x) і f ₂(x), що характеризують одну і ту ж властивість вибираного рішення і визначені на одній множині допустимих альтернатив, називатимемо еквівалентними, якщо вони визначають на ній одне і те ж відношення слабої переваги, тобто якщо для будь-яких двох альтернатив х ₁ і х ₂ з випливає, що і, навпаки, з виходить, що . Тут індекс f_i над знаком слабої переваги вказує на функцію, за допомогою якої це відношення задається. З даного визначення виходить, що еквівалентні цільові функції визначають на множині Х одні і ті ж відношення строгої переваги і еквівалентності. Наступна проста теорема встановлює, яким властивостями повинні задовольняти еквівалентні цільові функції [44].

Т е о р е м а 2.1. Для того, щоб цільові функції f ₁(x) і f ₂(x) були еквівалентні, достатньо, щоб існувало таке монотонне перетворення w (z), що переводить область значення функції f ₂(x) в область значень функції f ₁(x). Тобто f ₁(x) = w (f ₂(x)) для всієї множини допустимих альтернатив. При цьому, якщо обидві цільові функції максимізовувалися, то перетворення w (z) має бути монотонно-зростаючою функцією, а якщо ні, то w (z) має бути монотонно-спадною функцією.

Доведення

Розглянемо випадок критеріїв, що максимізуються і монотонно-зростаючого перетворення w (z), оскільки інші випадки доводяться аналогічно. Тоді, якщо , тобто , то і значить . Твердження виходить з через монотонність зворотного перетворення.

Теорему доведено.

Наведемо приклади еквівалентних максимізованих цільових функцій:

f ₁(x) = af ₂(x) + b,де a >0,

f ₁(x) = ln f ₂(x) + b, якщо f₂ (x)>0.