Построение математических моделей экономических задач

Прежде чем познакомится с методами решения задач линейного программирования, рассмотрим несколько примеров на построение математических моделей всевозможных задач экономического содержания.

Задачи планирования производства (задачи использования ресурсов)

Пример 1. Для изготовления двух видов продукции P₁, P₂ используют три вида сырья: S₁, S₂, S₃. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции приведены в таблице.

Вид сырья	Расход сырья на 1 ед. продукции	Запас сырья, ед.
P1	P2
S1
S2
S3
Прибыль от реализации 1 ед. продукции, усл. ед.

Необходимо составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль от ее реализации была бы максимальной.

Для построения математической модели экономической задачи необходимо ответить на следующие вопросы:

1) Что является искомыми величинами задачи?

2) Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?

3) Какова цель задачи?

Построим математическую модель задачи. Она включает целевую функцию и систему ограничений.

Идентифицируем переменные, а затем представим цель задачи и ограничения в виде математических функций этих переменных.

Обозначим через x₁ - количество единиц продукции P₁, а через x₂ - количество единиц продукции P₂.

Так как производство продукции P₁ и P₂ ограничено имеющимся в распоряжении предприятия сырьем вида S₁, S₂, S₃, и количество ед. продукции не может быть отрицательным, получим систему ограничений:

Конечную цель решаемой задачи (получение максимальной прибыли от реализации продукции) выразим в виде функции двух переменных следующего вида:

Таким образом, задача заключается в поиске таких неотрицательных решений системы линейных неравенств, при которых целевая функция принимает максимальное значение.

Математическая модель задачи имеет вид:

Пример 2. Предприятие располагает производственными мощностями четырех видов: трудовыми ресурсами, станками, автотранспортом и погрузочным оборудованием, использующимися для производства изделий двух типов. В таблице приведены затраты времени по каждому ресурсу, необходимые для изготовления изделий, а также ресурсы производственных мощностей. Составить оптимальный план производства продукции, при котором прибыль предприятия от реализации всей продукции была бы максимальной, если прибыль от реализации единицы продукции первого вида составляет 3 руб., а от единицы продукции второго вида - 4 руб. Так же необходимо учитывать, что существует норма выработки на общее количество изделий – не менее 4 штук.

Производственные мощности	Нормы времени на производство единицы продукции, ч.	Ресурсы производственных мощностей, ч.
Изделие №1	Изделие №2
Трудовые ресурсы
Станки
Автотранспорт
Погрузочное оборудование

Построим математическую модель задачи.

Обозначим:

x₁ (шт.) – планируемое производство изделий 1-го типа,

x₂ (шт.) – планируемое производство изделий 2-го типа.

Математическая модель задачи имеет вид:

Задачи о составлении рациона (или задачи о диете, о смесях)

В коммерческой деятельности часто возникают задачи, связанные с осуществлением рациональных закупок продуктов, обеспечивающих необходимый рацион питания для поддержания нормальной жизнедеятельности человека; задачи по формированию диетического питания; задачи составления кормовых смесей на животноводческих фермах и др. Задачи о рациональном питании решаются в условиях ограниченного ассортимента, товарных запасов, стоимости, суточных норм потребления питательных веществ и их содержания в продуктах. При решении подобного рода задач необходимо из всех возможных вариантов выбрать самый дешевый.

Пример 3. Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся в магазине продуктов питания, а также их стоимость приведены в таблице. Требуется составить суточный рацион, содержащий не менее суточной потребности человека в необходимых питательных веществах и обеспечивающий минимальную общую стоимость продуктов.

Питательные вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов	Нормы суточной потребности
мясо	рыба	молоко	масло	сыр	крупа	картофель
Белки,г
Жиры,г
Углеводы, г
Минеральные соли, г
Стоимость 1 кг продукта, усл. ед	1,9	1,0	0,28	3,4	2,9	0,56	0,1

Построим математическую модель задачи:

Обозначим x_j, (кг) – количество закупаемого продукта питания вида j, где j =1,…,7.

Запишем целевую функцию общей стоимости продуктов, входящих в суточный рацион и определим систему ограничений задачи. В ограничениях отразим условия содержания питательных веществ в суточном рационе в объеме, не меньшем суточной потребности в них и условия неотрицательности искомых переменных.

Математическая модель задачи имеет вид:

Задачи о раскрое материалов (о минимизации отходов)

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, состоящими в разработке таких технологических планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму.

Пример 4. Стальные прутья длиной 110 см необходимо разрезать на заготовки длиной 45, 35 и 50 см. Требуемое количество заготовок данного вида составляет соответственно 40, 30 и 20 шт. Возможные варианты разреза и величина отходов при каждом из них приведены в следующей таблице:

Длина заготовки, (см)	Вариант разреза
Величина отходов (см)

Определить, сколько прутьев по каждому из возможных вариантов следует разрезать, чтобы получить не менее нужного количества заготовок каждого вида при минимальных отходах.

Обозначим: Х_i – количество прутьев, разрезанных по i -му варианту разреза, где i =1,…,6.

Математическая модель задачи имеет вид: