Свойства определителей

1. Свойство равноправия строк и столбцов определителя. Величина определителя при транспонировании не меняется, т.е. .

Доказательство. Легко видеть, что любой член в составе определителя является членом в составе определителя и обратно. Таким образом, определители и состоят из одинаковых членов. Покажем, что имеет место также и совпадение знаков этих членов. В самом деле, знак члена в составе определителя по теореме о знаке члена определителя , где t – число инверсий в перестановке Знак члена в составе определителя , где - число инверсий в перестановке индексов строк , а - число инверсий в перестановке индексов столбцов (1, 2, …, n). Получаем, , следовательно, . ■

Замечание. Свойство равноправия строк и столбцов дает возможность формулировать остальные свойства в терминах строк, в терминах столбцов они выполняются автоматически.

2. Знакопеременность определителя. Если две строки определителя поменять местами, то он только изменит свой знак на противоположный.

Доказательство. По условию

Ясно, что общий член определителя является общим членом определителя и обратно. Таким образом, определители и состоят из одинаковых членов. Покажем, что имеет место совпадение знаков этих членов. Знак члена в составе определителя (–1) ^t, где t – число инверсий в перестановке . Знак члена в составе определителя , где  – число инверсий в перестановке . Числа t и имеют противоположную четность, поэтому и – противоположные знаки. ■

3. Если определитель содержит две одинаковые строки, то он равен нулю.

Доказательство. Воспользуемся свойством 2

.

Следовательно, . ■

4. Однородность определителя. Если все элементы некоторой строки определителя имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Доказательство. Воспользуемся определением:

■

5. Если определитель содержит строку, состоящую из нулей, то такой определитель равен нулю.

Доказательство. Воспользуемся свойством 4 при с = 0. ■

6. Однородность определителя. Если соответствующие элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Доказательство. Воспользуемся свойствами 4 и 3:

■

7. Аддитивность определителя. Если все элементы i -ой строки определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, все элементы которых, кроме i -ой строки, совпадают с элементами данного определителя, а элементами i -ой строки первого определителя являются первые слагаемые, элементами i -ой строки второго определителя являются вторые слагаемые элементов i -ой строки исходного определителя:

Доказательство. Воспользуемся свойством 4.

.

Обозначим строки определителя . ■

Определение. Говорят, что i-я строка определителя является линейной комбинацией остальных строк, если существует набор чисел , одновременно не равные нулю, такие, что i-я строка равна умноженному на 1-ю строку плюс умноженному на 2-ю строку и т.д. плюс умноженному на n-ю строку, т.е.

.

8. Если в определителе одна из строк является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть i- я строка определителя является линейной комбинацией его строк с номерами . Для доказательства используем свойства аддитивности и однородности.

■

9. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить линейную комбинацию других строк, то величина определителя не изменится.

5.4. Теорема Лапласа (вычисление определителя n- ого порядка).

Чтобы сформулировать правило вычисления определителя n -ого порядка, введем понятия минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Пусть дан определитель n -ого порядка.

Определение. Минором Мk-го порядка данного определителя (матрицы) называется определитель, порожденный матрицей, состоящей из элементов, находящихся на пересечении любых k строк и k столбцов данного определителя (матрицы).

Замечание. Минорами первого порядка являются элементы определителя. При k= n есть только один минор Δ.

Пусть дан определитель n -ого порядка, а в нем минор Мk- ого порядка.

Определение. Дополнительным до минора М называется определитель n - k-ого порядка, порожденный матрицей, состоящей из элементов, находящихся на пересечении тех строк и тех столбцов, которые не вошли в минор М.

Дополнительный минор обозначается . Ясно, что .

Определение. Алгебраическим дополнением A_М минора М определителя ∆ называется его дополнительный минор , взятый со знаком плюс или минус в зависимости от того, четной или нечетной является сумма номеров строк и столбцов, на пересечении которых находится данный минор М:

,

причем минор стоит на пересечении строк с номерами , столбцов с номерами .

Теорема. Пусть дан определитель ∆ n- огопорядка, в нем зафиксировано k строк, . Тогда ∆ равен сумме произведений всевозможных миноров k- огопорядка, составленных из выбранных k строк на их алгебраические дополнения:

,

где - всевозможные миноры k –го порядка, составленные из выбранных строк k строк определителя ∆.

При k =1 i -я строка определителя ∆ представляет собой n миноров 1-го порядка. Для элемента а_ij через М_ij обозначим дополнительный минор. По определению его порядок равен n –1, а он сам получается из ∆ «вычеркиванием i -ой строки и j -ого столбца.

Определение. Минором М_ij элемента а_ij определителя n-ого порядка называется определитель (n–1)-ого порядка, полученный из исходного путем «вычеркивания» i-й строки и j-ого столбца, на пересечении которых находится элемент а_ij.

Например, минор элемента а ₂₂определителя 3-ого порядка будет

.

Определение. Алгебраическим дополнением A_ij элемента а_ij определителя n-ого порядка называется соответствующий ему минор, взятый со знаком плюс, если сумма (i+j) номеров строки и столбца– четное число, или со знаком минус, если сумма (i+j) – нечетное число.

.

Например: .

Следствие 1. Определитель n- огопорядка равен сумме произведений всех элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по i- й строке);

(разложение по j- му столбцу).

Пример. Найти определитель Δ: а) разложив его по элементам первой строки; б) разложив его по элементам второго столбца:

.