 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Правила вычисления определителей
|
|
1) Определитель квадратной матрицы первого порядка 
, состоящей из одного числа равен самому этому числу 
: 
.
2) Определителем квадратной матрицы второго порядка 
является число, равное разности произведений его элементов главной и вспомогательной диагонали: 
.
Вычисление определителем второго порядка можно показать схемой:
3) Определителем квадратной матрицы третьего порядка 
называется число, вычисленное по следующей формуле:
.
При вычислении определителем третьего порядка можно пользоваться правилом «треугольника» (правилу Саррюса), где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+», либо со знаком «–» по следующей схеме:
«+» «–»
|
|
5.5. Основные методы вычисления определителя n –го порядка
1. Метод эффективного понижения порядка.
Используя основные свойства определителей, вычисление определителя n –го порядка D n ¹0 сводится к вычислению определителя (n –1) –го порядка, сделав в каком-либо ряду определителя n –го порядка D n все элементы, кроме одного, равными нулю.
2. Приведение определителя к треугольному виду.
Определитель, у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называется определителем треугольного вида. В этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали.
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка используя методы эффективного понижения порядка и приведения определителя к треугольному виду: 
.
Решение.
Вычисление определителя четвертого порядка может быть сведено к вычислению четырех определителей третьего порядка (т.е. если представить его в виде разложения по элементам какой либо строки или какого- либо столбца).
Применим метод эффективного понижения порядка. Вынесем за знак определителя общий множитель 2 всех элементов первой строки. Затем к элементам второй строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (–4), в результате получим нуль на пересечении первого столбца и второй строки; аналогично получим нули на пересечениях первого столбца с третьей и четвертой строками:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца, в результате чего получим определитель третьего порядка. Дважды вынесем за знак определителя множитель (-2): сначала из всех элементов первого столбца, а затем из всех элементов второй строки, а затем к элементам второго столбца прибавим элементы первого столбца, умноженные на (-1), а к элементам третьего столбца – элементы первого столбца, умноженные на 2.
Полученный определитель разложим по элементам второй строки и вычислим определитель второго порядка, умноженный на коэффициент 8:
Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка сведено к вычислению одного определителя третьего, а затем к вычислению одного определителя второго порядка.
Теперь применим метод приведения определителя к треугольному виду. Выполним следующие операции:
1) вынесем общий множитель 2 всех элементов первой строки за знак определителя;
2) вынесем общий множитель 2 всех элементов второго столбца за знак определителя;
3) к элементам второй строки прибавим элементы первой строки, умноженные на (-4), в результате чего получим нуль на пересечении первого столбца и второй строки; аналогично получим нули на пересечениях первого столбца с третьей и четвертой строками;
4) к элементам третьей строки прибавим элементы второй строки, умноженные на (
), в результате чего получим нуль на пересечении второго столбца и третьей строки; аналогично получим нули на пересечениях второго столбца и четвертой строки;
5) к элементам четвертой строки прибавим элементы третьей строки, умноженные на (
), в результате чего получим нуль на пересечении третьего столбца и четвертой строки.
Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка сведено к вычислению произведения элементов главной диагонали и множителя, вынесенного за знак определителя.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 782 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
