Разложение многочлена степени n на множители

Пусть многочлен

с действительными коэффициентами, имеющий как действительные корни (среди которых есть кратные), так и комплексные (среди которых также есть кратные), тогда многочлен можно представить в виде:

, где

– различные действительные корни многочлена, кратностей () соответственно;

- действительные числа, а квадратные трехчлены вида не имеет действительных корней (), (каждый множитель можно представить в виде , где – пара сопряженных комплексных корней кратности l_i).

Теорема Виета. Если многочлен имеет вид

и — корни многочлена (каждый кратный корень взят здесь столько раз, какова его кратность), то:

В частности,

· при n =2

;

· при n =3

Теорема Виета. Если приведенный многочлен имеет вид

и - корни многочлена (каждый кратный корень взят здесь столько раз, какова его кратность), то:

В частности,

· при n =2

;

· при n =3

Для того чтобы несократимая дробь (p – целое, q – натуральное) была корнем многочлена

с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было делителем свободного члена , а число q – делителем старшего коэффициента .

В частности, если многочлен имеет целые коэффициенты и , то рациональными корнями такого многочлена могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена .