 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Деление многочленов с остатком
|
|
Пусть f (x) и g (x) - ненулевые многочлены
, 
, 
,
Теорема (о делении с остатком). Для любых многочленов f (x), g (x) (g (x)≠0) существует только одна пара многочленов q (x) (неполное частное) и r (x) (остаток), таких, что
,
причем степень остатка r (x) меньше степени частного g (x): 
.
Любой многочлен f (x) делится на многочлен g (x) (
) либо нацело, либо с остатком. В первом случае (при делении нацело) частное от деления, а во втором случае (при делении с остатком) частное и остаток можно найти методом неопределенных коэффициентов.
Суть метода такова. Пусть f (x) и g (x) - ненулевые многочлены
, 
Положим частное и остаток
.
Напишем тождественное равенство
.
Перемножая многочлены g (x) и q (x) и приводя подобные члены, получим многочлен n -й степени. Приравнивая коэффициенты приодинаковых степенях х этого многочлена и многочлена f (x), получим систему п уравнений, решая которую находим числа 
, 
.
Если окажется, что все числа 
равны нулю, то это означает, что многочлен f (x) делится нацело на многочлен g (x). Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то многочлен f (x) делится на многочлен g (x)с остатком.
Частное и остаток от деления также находят с помощью так называемого правила деления «уголком». При делении многочлена f (x) на многочлен g (x) «уголком» многочлены f (x) и g (x) располагают по убывающим степеням х. Затем старший член многочлена f (x) делят на старший член многочлена g (x) и получают старший член частного – многочлена q (x). Найденный старший член многочлена q (x) умножают на затем на делитель – многочлен g (x) и полученный многочлен вычитают из многочлена f (x). В результате вычитания получается некоторый многочлен d 1(x), степень которого меньше n. Если степень многочлена d 1(x) меньше m, то процесс деления окончен, при этом многочлен d 1(x) – остаток. Если степень многочлена d 1(x) больше или равна m, то процесс деления повторяется для многочлена d 1(x), т.е. старший член многочлена d 1(x) делят на старший член многочлена g (x) и полученный многочлен вычитают из многочлена d 1(x). В результате вычитания получается некоторый многочлен d 2(x), степень которого меньше n -1. Если степень многочлена d 2(x) меньше m, то процесс деления окончен, при этом многочлен d 2(x) – остаток. Если степень многочлена d 2(x) больше или равна m, то процесс деления повторяется для многочлена d 2(x).
Процесс продолжается до тех пор, пока степень полученного на k -ом шаге многочлена dk (x) станет меньше степени многочлена g (x), при этом многочлен dk (x) – остаток. Рассмотрим этот метод на примере.
Пример. Даны два многочлена f (x) и g (x):
.
Найти частное и остаток.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 1055 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
