Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме

,

,

то действия над комплексными числами определяются следующим образом:

Алгебраическая сумма.

,

т.е. , .

Произведение.

,

т.е. чтобы перемножить комплексные числа в тригонометрической форме, достаточно перемножить их модули, а аргументы сложить, или .

Пусть и .

Тогда

Деление.

т.е. при делении двух комплексных чисел в тригонометрической форме, достаточно поделить их модули, а аргументы вычесть, или .

Рассмотрим , где . Тогда и , . Следовательно, и . Окончательно,

.

Возведение в целую степень.

(формула Муавра)

т.е. при возведении в целую степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, достаточно возвести модуль в соответствующую степень, а аргумент умножить на показатель степени, т.е. .

Пусть . Докажем формулу методом математической индукции. Если n =1, то формула верна, т.к. в этом случае

Предположим, что формула верна для n = k, т.е. Докажем, что формула верна при n = k +1. Имеем

Очевидно, что для n =0 формула верна. Пусть .

Извлечение корня n -й степени.

Определение. Корнем n-й степени из числа z называется комплексное число w, n-я степень которого равна z.

Множество всех корней n -й степени из числа z обозначается , т.е. , если wⁿ = z.

Операция извлечения корня неоднозначна.

Теорема (об извлечении корня). Для любого ненулевого комплексного числа существует точно n различных корней n -й степени из него. При этом имеет место формула

.

Из формулы следует:

1) все n различных значений имеют один и тот же модуль, равный ;

2) все n различных значений корня n -й степени из комплексного числа z являются вершинами правильного n –угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим решение уравнения на множестве комплексной плоскости.

Пример. Решить уравнение .

Решение.

Решим уравнение в виде , для чего представим число z в тригонометрической форме.

Так как и , следовательно,

.

Все значения корня даются формулой:

.

При k = 0 имеем ;

при k = 1 ;

при k = 2 ;

при k = 3 ;

при k = 4 .

Рис. 7

Таким образом, все значения корня расположены на окружности радиуса (рис.7). Значение, соответствующее k = 0, имеет аргумент –π/15, остальные расположены с интервалом по φ, равным 2π/5, в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

1.7. Действия над комплексными числами
в показательной форме

Если комплексные числа заданы в показательной форме

,

то действия над комплексными числами определяются следующим образом:

Ÿ алгебраическая сумма: ;

Ÿ произведение: ;

Ÿ деление: ;

Ÿ возведение в целую степень:

Ÿ извлечение корня n -й степени: .

Пример. Даны два комплексных числа z ₁=1+ i, z ₂=1- i. Записать числа z ₁ и z ₂ в показательной форме, вычислить z ₁⁵.