Числовые кольца и поля. Комплексные числа

Основные понятия

Понятие множества относится к числу простейших и в то же время фундаментальных понятий математики.

Определение. Множество – это совокупность каких-либо объектов произвольной природы, объединенных по определенному признаку.

Определение. Объекты, составляющие множество, называются его элементами или точками.

Множества обозначаются прописными буквами A, B, C, а входящие в них элементы — строчными a, b, c.

Выражение «элемент х из множества X» кратко записывается в виде (х принадлежит X); если же элемент х не является элементом множества X, то это соответствует записи (х не принадлежит X).

Определение. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, а множество, состоящее из бесконечного числа элементов – бесконечным. Конечное множество можно задать перечислением всех его элементов: .

Если число n достаточно велико, то множество задается с помощью характеристического свойства, т.е. свойства, которым обладает каждый элемент множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий этому множеству:

,

где Р (х) – характеристическое свойство множества Х.

Например, .

Введем некоторые обозначения.

Определение. Утверждение, относительно которого известно истинно оно или ложно, называется высказыванием.

Для краткой записи математических утверждений используются следующие логические символы (кванторы):

· " – квантор общности заменяет слова «для любого», «для каждого», «для всех».

Вместо выражения «любой элемент х из множества X» записывается: . Например, выражение «" x: Р (х)» означает, что для любого (каждого) х имеет место Р (х).

· $ – квантор существования заменяет слова «существует», «найдется».

Вместо выражения «существует элемент х из множества X» кратко пишут: . Например, выражение «» означает, что существует (найдется) такой х, что имеет место Р (х).

· Þ – логический квантор следования (импликации).

Запись X Þ Y означает, что X следует из Y (X влечет за собой Y).

· Û – логический квантор равносильности (эквивалентности).

Вместо выражения «X тогда и только тогда, когда Y» или «X эквивалентно Y» кратко пишут: .

· (Ù) – логический символ конъюнкции (знак пересечения).

Вместо выражения «X и Y» кратко пишут: (X Ù Y).

· (Ú) – логический символ дизъюнкции (знак объединения).

Вместо выражения «X или Y» или «хотя бы одно из X или Y» кратко пишут: (X Ú Y).

Определение. Если все элементы множества Х содержатся в множестве Y, то Х целиком содержится в Y, или (X является подмножеством множества Y):

.

Определение. Если ни один элемент множества Х не содержится в Y, то, значит, и само множество Х не содержится в Y, или (X не является подмножеством множества Y):

.

Определение. Пустым множеством называется множество, обозначаемое символом Æ, в котором не содержится ни одного элемента.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Определение. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Для числовых множеств, которые часто применяются, вводятся специальные обозначения. К ним относятся:

N – множество всех натуральных чисел: 1, 2, 3…;

Z – множество всех целых чисел: …–2, –1, 0, 1, 2,…;

Q – множество всех рациональных чисел, т.е. дробей вида ();

R – множество всех действительных чисел, которое состоит из рациональных и иррациональных чисел;

С – множество всех комплексных чисел (данное множество мы рассмотрим ниже);

K – обозначение любого из перечисленных выше множеств (N, Z, Q, R, С).

Определение. Если два множества Х и Y состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными, что соответствует записи Х=Y.

Запись означает, что множества X и Y не равны друг другу, т.е. существует элемент, принадлежащий одному из этих множеств и не принадлежащий другому. Таким образом,

.

Пусть R – множество действительных чисел. Рассмотрим произвольное его подмножество K Ì R.

Определение. Числовое множество K называется числовым кольцом, если оно содержит сумму, разность и произведение двух любых своих чисел, т.е.

Примеры.

1) K = {0} – нулевое (тривиальное) кольцо является минимальным;

2) – множество всех целых чисел;

3) – множество всех рациональных чисел, т.е. это либо целая, либо конечная, либо периодическая бесконечная десятичная дробь;

4) K = R – множество всех действительных чисел, которое состоит из рациональных и иррациональных чисел;

5) ;

6) .