Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой числа.
С помощью модуля и аргумента комплексное число можно представить в других формах.
Если x и y – декартовы координаты точки плоскости, то, переходя на плоскости к полярным координатам (r, φ) и воспользовавшись связью декартовых и полярных координат
,
всякое комплексное число можно представить в виде
.
Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической формой числа, где , .
Теорема. Любое ненулевое комплексное число обладает единственной в существенном совпадении тригонометрической формой.
Доказательство.
Существование. Пусть . Обозначим , тогда , и .
Единственность. Пусть ненулевое число z обладает тригонометрическими формами
, , , .
Имеем .
Приравнивая действительную и мнимую части этого равенства, получим
Следовательно,
.
Таким образом, два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2 p. ■
Пример. Даны два комплексных числа и , заданных алгебраически. Перевести их в тригонометрическую форму.
Решение.
1) Определим модуль и величину аргумента комплексного числа:
, .
Таким образом, .
2) Определим модуль и величину аргумента комплексного числа:
, .
Таким образом, .
Используя формулу Эйлера, связывающую тригонометрическую и показательную функции:
,
всякое комплексное число z можно представить в следующем виде .
Такая форма записи комплексного числа называется показательной формой числа.
В силу формулы Эйлера, функция является периодической с основным периодом 2 p.
Имея формулу Эйлера, запишем следующие формулы:
и
и
.
1.5. Действия над комплексными числами
в алгебраической форме
Если два комплексных числа представлены в алгебраической форме
и ,
то действия над комплексными числами определяются следующим образом.
Алгебраическая сумма.
Определение. Алгебраической суммой двух комплексных чисел
и
называется комплексное число z, определяемое соотношением
,
т.е. и .
В частности,
;
Для операции сложения справедливы свойства:
1) z 1+ z 2 = z 2+z1 – коммутативность;
2) (z 1+ z 2)+z3 = z 1+(z 2+z3) –ассоциативность.
Произведение.
Определение. Произведением двух комплексных чисел
z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2
называется комплексное число z, определяемое соотношением
,
т.е. и
В частности,
, причем .
Для операции умножения справедливы свойства:
1) z 1· z 2 = z 2· z 1– коммутативность;
2) (z 1· z 2)z3 = z 1(z 2· z 3) –ассоциативность;
3) (z 1 + z 2) z 3 = z 1· z 3 + z 2· z 3. – дистрибутивность.
Деление.
Определение. Частным двух комплексных чисел и называется комплексное число z, определяемое соотношением
(для нахождения частного комплексных чисел домножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю: ).
В частности,
.
Свойства комплексного сопряжения.
1)
Действительно,
2)
Действительно,
3) ;
Обозначим . Тогда , , .
Возведение в целую степень.
При возведении комплексного числа z в степень n, пользуются формулой бинома Ньютона:
В правой части равенства заменяют степени мнимой единицы по формулам:
, где k =0, 1, 2, …
и приводят подобные члены, в результате получают некоторое комплексное число z = x + iy.
Пример. Даны два комплексных числа z 1 = 2 – 3 i, z 2 = 4 + 5 i. Найти их сумму, разность, произведение и частное.
Решение.
z 1 + z 2 = (2 − 3 i) + (4 + 5 i) = (2 + 4) + (-3 + 5) i = 6 + 2 i;
z 1· z 2 = (2 − 3 i)·(4 + 5 i) = (2·4 + (-3)·5 i 2) + (2·5 +(-3)·4) i = 23 − 2 i;
.
Пример. Возвести в указанную степень следующие комплексных числа:(3+4 i)2, (1+2 i)3, (2+ i)4.
Решение.
,
,
.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 1019 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!