Алгебраический критерий Гурвица

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения.

Система автоматического регулирования устойчива, если все коэффициенты её характеристического уравнения имеют одинаковые знаки, а главный диагональный определитель системы (определитель Гурвица) и его диагональные миноры будут положительными.

Пусть – характеристическое уравнение системы;

1) Необходимые условия: α₀ > 0, α₁ > 0,……, α_n > 0 или α₀<0, α₁<0,….., α_n<0.

2) Для проверки достаточного условия, составляют из коэффициентов уравнения главный диагональный определитель:

- по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения, начиная со второго.

- столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициенты с последовательно убывающими индексами;

столбцы вниз – коэффициентами с последовательно возрастающими индексами;

- i ^ый диагональный минор получают отчёркивая i ^ый столбец и i ^ую строку.

Для исследуемой системы:

αn-1	αn-3	αn-5
αn	αn-2	αn-4
	αn-1	αn-3			C1C2-C3C4
				α1	0
					α0

C1	C3
C4	C2

D₁= α_n-1>0;

αn-1	αn-3
αn	αn-2

D₂= = α_n-1 α_n-2 - α_n α_n-3 >0;

αn-1	αn-3
αn	αn-2
			α0

αn-1	αn-3	αn-5
αn	αn-2	αn-4
	αn-1	αn-3

D₃= >0; D_n= >0;

Исходным выражением для определения устойчивости по Гурвицу является Н(р), следовательно, по Гурвицу определяют устойчивость замкнутых и разомкнутых систем.

Пример 1. Определить по Гурвицу устойчивость системы первого порядка, заданной характеристическим уравнением:

Н(р)=α₁р+α₀=0

1)α₁ >0; α₀ >0

2)D=| α₀| >0, т.е. для того, чтобы система первого порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты её характеристического уравнения имели одинаковые знаки.

Пример 2. Определить по Гурвицу устойчивость системы второго порядка заданной характеристическим уравнением:

Н(р)=а₂р²+α₁р+α₀=0

1)α₁> 0; α₂>0; α₀>0

α1
α2	α0

2)D₂= = α₁ α₀ – α₂ 0 >0

т.е. для того чтобы система второго порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты её характеристического уравнения имели одинаковые знаки.

Пример 3. Определить по Гурвицу устойчивость замкнутой системы, заданной следующей структурной схемой:

Исходным выражением для определения устойчивости по Гурвицу является характеристическое уравнение замкнутой САР, которое находится как знаменатель ее передаточной функции.

где:

Первое условие:

а2	а0
а3	а1
	а2	а0

Второе условие: ∆ =

∆₁ = α₂ >0, если выполняется первое условие;

α2	α0
α3	α1

∆₂= = α₂ α₁ - α₃ α₀ >0, в этом случае система устойчива;

∆₃ = (-1)³⁺³ α₀ ∆₂^>0 всегда, если α₂>0 и выполняется первое условие.

Для того, чтобы система третьего порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения имели одинаковые знаки, а произведение внутренних коэффициентов было больше произведения крайних.

Но может оказаться, что D₂<0, тогда система неустойчива, и ее необходимо скорректировать, не прибегая к структурной коррекции. Это, возможно меняя статический коэффициент передачи разомкнутой САР. Для данной системы k_раз = b₀, а коэффициент характеристического уравнения α₀=f(k_раз).

В этом случае находят критическое значение k_раз, при котором система находится на границе устойчивости, т. е. ∆₂=0.

∆₂= α₂ α₁ - α₃ α_{0 кр}=0

α_{0 кр}= α₂ α₁/α₃

k_{раз кр} (для данной системы)= α_{0 кр} - 1

Выбирают k_{раз ск} < k_{раз кр} и α_{0 ск} = 1+ k_{раз ск}

∆_{2 скор. сист.} α₂ α₁ - α₃ α_{0 ск} >0, т. е. скорректированная система устойчива.