Задача 2. В ящике 5 белых и 6 черных шаров

В ящике 5 белых и 6 черных шаров. Какова вероятность того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой – черный? (Iвариант – без возвращения, IIвариант – с возвращением).

Для решения данной задачи рассмотрим теоремы сложения и умножения вероятностей.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Событие A называется независимым от события В, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Вероятность события A, вычисленная при условии, что имело место другое событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается .

Событие называется противоположным событию A, если оно состоит в непоявлении события A.

Теорема сложения: вероятность суммы любого числа совместных событий определяется зависимостью

где суммы распространяются на различные сочетания индексов и т.д.

В частном случае, вероятность суммы двух совместных событий

, (1)

где - произведение событий и .

В общем случае для несовместных событий имеем соотношение

(2)

Теорема умножения: вероятность произведения двух событий (зависимых) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

. (3)

Для двух независимых событий имеем

. (4)

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Решение:

Пусть:

событие А – появление белого шара при первом вынимании;

событие В - появление черного шара при первом вынимании;

событие С - появление белого шара при втором вынимании;

событие D - появление черного шара при втором вынимании.

I вариант (вынутый шар не возвращается в урну):

В данном варианте рассматриваются зависимые события и используется формула .

Вычислим вероятность того, что первый вынутый шар белый, а второй – черный:

Найдем вероятность того, что первый вынутый шар черный, а второй – белый:

Таким образом, вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный, определится по теореме сложения: , т.е.

II вариант (вынутый шар возвращается в урну):

Здесь уже рассматриваются независимые события и применяется формула .

Вероятность того, что первый вынутый шар белый, а второй – черный:

Вероятность того, что первый вынутый шар черный, а второй – белый:

Таким образом, вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный, определится по теореме сложения: , т.е.