Задача 5. Функция распределения непрерывной СВ Х задана выражением

Функция распределения непрерывной СВ Х задана выражением .

Найти: коэффициент ; плотность распределения ; математическое ожидание; дисперсию; вероятность попадания СВ Х на участок от 0.25 до 0.5.

Введем понятия непрерывной СВ и основных характеристик.

Если все значения, которые может принимать данная случайная величина заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси, то СВ называется непрерывной.

Закон распределения непрерывной СВ задается с помощью функции плотности распределения.

Функция плотности распределения есть предел отношения вероятности попадания СВ в интервал к ширине этого интервала при ее стремлении к нулю:

.

Функцию называют также плотностью вероятностей, кривой плотности распределения. Плотность распределения существует только для непрерывных СВ и имеет следующие основные свойства:

;

Математическое ожидание непрерывной СВ Х это ее среднее значение, которое вычисляется по формулам:

Дисперсией непрерывной СВ называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины (центрированной СВ называется разность между СВ Х и ее математическим ожиданием):

.

Решение. Так как функция непрерывна, то, при .

Отсюда . Плотность распределения величины Х выражается формулой

.

Математическое ожидание равно

Дисперсия СВ равна

Вероятность попадания величины Х на участок можно определить двумя способами:

.