Доверительный интервал и доверительная вероятность

Знание закона распределения случайных ошибок в эксперименте дает математическую основу для вычисления погрешности измерений. Предполагая, что кривая распределения ошибок в эксперименте – это функция Гаусса, мы можем дать строгую оценку назначаемой нами погрешности, указав не только саму погрешность, но и вероятность того, что измеренная величина не выходит за границы некоторого заданного нами интервала. Рассмотрим это положение подробнее с использованием графика распределения случайных ошибок в эксперименте.

Обозначим задаваемую нами погрешность буквой e, тогда заштрихованная площадь будет равна вероятности того, что результат измерения не выйдет за границы интервала {-e, e}, отложенного на оси абцисс. Данный интервал называют доверительным, а соответствующую ему вероятность попадания результата в этот интервал – доверительной вероятностью. Доверительный интервал e выражают обычно через относительную величину t = e/σ, а доверительную вероятность P(t) находят по табличным значениям интеграла вероятностей Φ(t). Рассмотрим этот вопрос подробней.

Исходное выражение для доверительной вероятности Р (e), т.е. заштрихованная на приведенном выше рисунке площадь, определяется интегрированием ρ(х) от -e до e:

.

Делая замену переменной х /σ = ξ и, заменяя пределы интегрирования на введенную выше безразмерную величину t, найдем

,

где Φ(t) – интеграл вероятностей.

Данный интеграл в виде таблиц приводится во многих справочниках. Ниже приводится сильно упрощенная таблица 1, позволяющая найти некоторые характерные значения интеграла для заданных t. На рисунке приведен график Φ(t), из которого видно, что при увеличении t от нуля до трех, Φ(t) увеличивается монотонно от нуля до 0,9973, асимптотически приближаясь затем к единице.

Таблица 1 позволяет, таким образом, найти доверительную вероятность, задав доверительный интервал. Помимо этого существует таблица 2, которая позволяет определить доверительный интервал t, если задана доверительная вероятность Р (t) (ее упрощенный вариант приведен ниже).

Наиболее часто при обработке результатов эксперимента используют значения t = 2(e=2σ) и t = 3(e=3σ). Соответствующие доверительные вероятности: Р (2)» 0,955 и Р (3)» 0,997.

Таблица 1. Значения интеграла вероятности при заданных значениях t		Таблица 2. Значения t при заданных значениях Ф(t)
t	Ф(t)	Ф(t)	t
0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1,0 2,0 3,0 µ	0,0797 0,1585 0,2358 0,3829 0,5161 0,6827 0,9545 0,9973	0.50 0.70 0.80 0.90 0.95 0.99 0.997	0,675 1,036 1,282 1,645 1,960 2,576

График зависимости Ф(t)