Гистограмма и распределение Гаусса

Предположим, что все систематические ошибки полностью устранены, так что имеются только случайные ошибки. Рассмотрим распределение измеренных значений величины х в хорошо поставленном эксперименте. С этой целью разобьем весь интервал измеренных значений от х _min до х _max на к одинаковых промежутков шириной

Δ х = (х _max – х _min)/ к и припишем каждому такому промежутку Δ х_i порядковый номер i

(1 < i < к). После этого определим число результатов Δ N_i, попавших в тот или иной промежуток и изобразим это на графике в виде прямоугольника с основанием Δ х_i и высотой Δ N_i. Нанесем на график подобные прямоугольники для всех i.

Построенный таким образом график называют гистограммой. На нем при довольно высоком значении общего числа измерений N хорошо видны статистические закономерности, которым обычно подчиняется распределение результатов опытов.

Измеренные значения симметрично группируются около некоторого среднего значения, причем большие отклонения от него встречаются реже, чем малые. Увеличивая N, будем получать все более плавные графики. Перенормируем полученный график, т.е. поставим на оси ординат вместо Δ N_i величину Δ N_i / N Δ х, тогда суммарная площадь всех прямоугольников будет равна 1, а площадь каждого из них будет равна вероятности того, что измеренное значение х_i лежит в соответствующем интервале Δ х_i.

Ординаты кривой распределения

представляют собой плотность вероятности получения результата х. Если мы выделим на оси абцисс произвольный промежуток а ≤ х ≤ b, то площадь под кривой между отрезками х = а и х = b, будет равна вероятности того, что измеренное значение попадет в этот промежуток.

Полученное нами распределение очень часто встречается на практике и оно называется распределением Гаусса. В аналитической форме нормированное на единицу распределение Гаусса имеет следующий вид

Оно определяется двумя параметрами – х ₀ определяет положение пика, а σ – его ширину. Последняя величина характеризует точность эксперимента. Чем меньше σ, тем более узкой является кривая и тем выше точность эксперимента. Квадрат величины σ называют дисперсией распределения. Подчеркнем, что приведенное выше выражение представляет собой распределение значений измеренных физических величин. Вспомним, что х = х ₀ + δ х, где х ₀ – истинное значение, а величина δ х – случайная ошибка измерения, поскольку систематическая ошибка в нашем рассмотрении отсутствует. Перенесем начало координат в точку х = х ₀, тогда полученная кривая будет описывать распределение ошибок в проведенном эксперименте. Кривые для распределения величин х и случайных ошибок отличаются только положением максимума на оси абцисс.