Лабораторная работа №6. Решение задач однопараметрической оптимизации методами с использованием производных

Решение задач однопараметрической оптимизации методами с использованием производных

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: приобрести навыки в решении задач методами с использованием производных, сравнить значения полученные в ходе работы. Познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

Метод средней точки

Сущность метода. Основан на алгоритме исключения интервалов, на каждой итерации которого рассматривается одна пробная точка R. Если в точке R выполняется неравенство , то вследствие унимодальности функции точка оптимума не может лежать левее точки R. Аналогично, если , то интервал можно исключить.

Пусть в интервале имеются две точки N и P, в которых производные и . Оптимальная точка х расположена между N и P.

Шаг 1. Положить , , причем и .

Шаг 2. Вычислить и

Шаг 3. Если то закончить поиск. В противном случае, если , положить и перейти к шагу 2. если положить и перейти к шагу 2.

Как следует из логической структуры, процедура поиска по методу средней точки основана на исследовании только знака производной.

ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР

где

В интервале (см. пример) при

РЕШЕНИЕ:

Итерация 1.

Шаг 1.

Шаг 2.

Шаг 3. положить

Итерация 2.

Шаг 2.

Шаг 3. положить

Итерация 3.

Шаг 2.

Шаг 3. положить

Итерация 4.

Шаг 2.

Шаг 3. положить

Итерация 5.

Шаг 2.

Шаг 3. Решение при котором , найдено с заданной точностью.

Метод хорд

Сущность метода. Ориентирован на нахождение корня уравнения в интервале , в котором имеются две точки N и P, в которых знаки производных различны, причем производные и . Алгоритм метода хорд позволяет аппроксимировать функцию «хордой» и найти точку, в которой секущая графика пересекает ось абсцисс.

Схема метода хорд

Шаг 1. Следующее приближение к стационарной точке определяется по формуле

Шаг 2. Вычислить .

Шаг 3. Если , то закончить поиск. В противном случае необходимо выбрать одну из точек P или N, чтобы знаки производных в этой точке и точке R были различны. Вернуться к шагу 1.

Как видно из алгоритма, метод хорд реализован на вычислении как знака производной, так и ее значения. Поэтому он более эффективен, чем метод средней точки.

ЧИСЛОВОЙ ПРИМЕР

где

В интервале при .

Итерация 1.

Шаг 1.

Шаг 2.

Шаг 3. положить

Итерация 2.

Шаг 2.

Шаг 3. решение , при котором найдено с заданной точностью.

3. МЕТОДИЧЕСКОЕ И МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

3.1. Методические указания по выполнению лабораторной работы – по числу студентов, присутствующих на занятиях.

3.2. Раздаточный материал (индивидуальные исходные данные, персональный компьютер для выполнения вычислений с использованием EXCEL) — по числу студентов.