Лабораторная работа №4. Безусловная однопараметрическая оптимизация

Безусловная однопараметрическая оптимизация

Задача оптимального раскроя бревна на брус

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомится с методами решения нелинейных уравнений на примере метода Свенна и применения его при оптимизации раскроя бревен.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Ознакомиться с теоретическими предпосылками изложенными в данной лабораторной работе, углубить знания с использованием дополнительной литературы.

2.2 Изучить и разобрать пример расчета.

2.3 Для исходных данных индивидуального задания выполнить расчеты.

2.4. Выполнить анализ результатов и сделать выводы

Несмотря на то, что безусловная оптимизация функции одной переменной - наиболее простой тип оптимизационных задач, она занимает центральное место в теории оптимизации как с теоретической, так и с практической точки зрения. Это связано с тем, что задачи однопараметрической оптимизации достаточно часто встречаются в инженерной практике и, кроме того, находят свое применение при реализации более сложных итерактивных процедур многопараметрической оптимизации.

Пример. Постановка задачи оптимального раскроя бревна на брус

Бревно длиной 1₆ м имеет форму конуса, диаметры оснований которого равны соответственно d_k и d₀ м. Требуется автоматизировать процесс раскроя бревна для получения бруса квадратного поперечного сечения, ось которого совпадала бы с осью бревна и объем которого был бы наибольшим. Определить размеры бруса (рис.1).

Постановка задачи

1. В качестве показателя эффективности целесообразно использовать объем бруса, м³.

В качестве управляемой переменной задачи следует взять длину бруса . При этом длина бруса связана с поперечным размером следующими зависимостями:

где –диаметр бревна в комле, м; –диаметр бревна в вершине, м; –длина бревна, м. 3. Целевая функция:

Методы поиска, которые позволяют определить оптимум функции одной переменной путем уменьшения интервала поиска, носят название методов исключения интервалов.

Все методы одномерной оптимизации основаны на предположении, что исследуемая целевая функция в допустимой области, по крайней мере, обладает свойством унимодальности, так как для унимодальной функции сравнение значений в двух различных точках интервала поиска позволяет определить, в каком из заданных двумя указанными точками подынтервалов точки оптимума отсутствуют.

Правило исключения интервалов. Пусть унимодальна на отрезке [а,b], а ее минимум достигается в точке . Рассмотрим и , расположенные .

Если , то точка минимума не лежит в
интервале , т.е. .

Если , то точка минимума не лежит в
интервале , т.е. .

Это правило позволяет реализовать процедуру поиска путем последовательного исключения частей исходного ограниченного интервала. Поиск завершается тогда, когда оставшийся подынтервал уменьшается до достаточно малых размеров.

Главное достоинство поисковых методов - они основаны на вычислении только значений функции и, следовательно, не требуют выполнения условия дифференцируемости и записи в аналитическом виде. Последнее свойство особенно ценно при имитационном моделировании.

Процесс применения методов поиска на основе исключения интервалов включает два этапа:

· этап установления границ интервала;

· этап уменьшения интервала.

Этап установления границ интервала

Выбирается исходная точка, а затем на основе правила исключения строится относительно широкий интервал, содержащий точку оптимума. Обычно используется эвристический метод, например, Свенна, в котором пробная точка определяется по рекуррентной формуле

где – произвольно выбранная начальная точка;

– подбираемая величина шага.

Знак определяется путем сравнения значений , , :

· если , то имеет отрицательное значение;

· если , то имеет положительное значение;

· если , то точка минимума лежит между и поиск граничных точек завершен;

· если то имеем противоречие предположению об унимодальности.

Приме. Приложение метода Свенна к задаче оптимального раскроя бревна на брус

,

при , , ,

В качестве произвольно выбранной начальной точки примем .0пределим знак :

Выполняется условие , следовательно, имеет отрицательное значение; .

;

Искомый интервал .

3. МЕТОДИЧЕСКОЕ И МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

3.1. Методические указания по выполнению лабораторной работы – по числу студентов, присутствующих на занятиях.

3.2. Раздаточный материал (индивидуальные исходные данные, персональный компьютер для выполнения вычислений с использованием EXCEL) — по числу студентов.