Задание 47. Решение линейных дифференциальных уравнений – 1 ч

Цель: формирование умений решать линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 47.1.Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют линейными? Какова техника их решения?

47.2. Решите линейное дифференциальное уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) .

¶47.3. Решите линейное дифференциальное уравнение:

а) ; б) .

Методические указания по выполнению работы:

Линейные дифференциальные уравнения – уравнениявида .

Для решения линейных дифференциальных уравнений удобно использовать следующий алгоритм (метод Бернулли):

1. Приведите дифференциальное уравнение к виду и введите подстановки: и .
2. Сгруппируйте члены, содержащие u, и вынести u за скобки.
3. Приравняйте к нулю выражение, стоящее в скобках, и найти функцию v (необходимо решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными v и х). Функция v не должна содержать константу С!
4. Вернитесь к дифференциальному уравнению, полученному после шага 2. Подставьте в это уравнение функцию v, найти вторую функцию и (функция и содержит константу С).
5. Подставьте функции u и v, найденные на 3-м и 4-м этапе, в уравнение . Полученная функция у является общим решением исходного линейного дифференциального уравнения.
6. Выпишите в ответе получившееся решение дифференциального уравнения.

Пример 1. Найдите общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

1. Выполним подстановки: и :

.

2. Сгруппируем члены, содержащие u, и вынесем u за скобки:

;

(*).

3. Считая, что неизвестная функция у является произведением двух также неизвестных функций u и v, мы можем одну из этих функций (v) выбрать произвольно. Поэтому приравняем к нулю выражение, стоящее в скобках, и найдем функцию v:

- уравнение с разделяющимися переменными, для решения которого представим . Тогда:

. Взяв интегралы от обеих частей, получим, что

. Но поскольку функцию v мы выбираем произвольно, удобно константу С взять равной нулю. Тогда , а .

Таким образом, на третьем шаге мы нашли функцию v ().

4. Вернёмся к уравнению (*). Поскольку выражение в скобках на третьем шаге мы выбирали равным нулю, то данное уравнение (*) примет вид: или .

Подставим функцию в это уравнение и найдем вторую функцию и:

. Данное уравнение легко приводится к простейшему делением обеих частей на х:

или . Тогда . Константу С здесь писать обязательно!

Итак, на четвертом шаге метода Бернулли мы нашли функцию и ().

5. Решением исходного уравнения будет являться функция . Функции u и v были найдены нами на 3-м и 4-м этапе решения примера. Подставив их в уравнение , найдем, что - общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: .

Замечание. На 3-м шаге решения линейного дифференциального уравнения требуется выразить функцию v через х. Во избежание возможных трудностей, рассмотрим некоторые конкретные примеры, показывающие, как из полученного уравнения выразить v. Они основаны на определении ( ) и одном из свойств логарифма ():

1. .

2. .

3. .

Список литературы:

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учеб. для студентов СПО / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – М.: Академия, 2012.-320 с. - Глава 11, п. 11.2, стр. 275 – 276.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов: учеб. пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул – М.: Наука, 1989.-576 с. - Глава 10, §59 - 61, стр. 321 – 335.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 6, §2-3, стр. 375 – 393.